数学证明算数不算数（转载）

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近來數學界有兩宗大新聞。一是曾獲數學界最高榮譽菲爾茲獎（Fields Medal）和阿貝爾獎（Abel Prize）、年屆89歲的大數學家阿蒂亞（Michael Atiyah）宣稱已解決世紀難題「黎曼猜想」（Riemann Hypothesis），並在演講中介紹自己的證明。不過數學界並不看好他的證明成立。[1]

另一則是今年剛獲得菲爾茲獎的舒爾斯（Peter Scholze）與數學家史迪思（Jakob Stix）合撰報告，指京都大學教授望月新一2012年放上網絡、以其自創數學理論證明「abc猜想」的數百頁論文中有「無法修補」的漏洞，因此猜想仍然懸而未決。[2]

不過，數學不是一門明確的學科嗎？
一切內容應該寫得清楚明白，為甚麼會有「這到底算不算證明了」的爭議？沒有人能夠明白的數學證明，還算成立嗎？

這得由「甚麼是數學證明」說起。


公理系統
傳統上，數學證明是一組論證，可以使用的前提包括理應是「不證自明」、所有人都接受的公理（axiom），以及其他已被證明的數學定理，再透過邏輯推論、數學運算，最後得出想要證明的數學命題——這時候，該命題便是正式的數學定理了。

這種「公理方法」最早可追溯自古希臘數學家歐幾里德（Euclid）的經典著作《幾何原本》（Elements），他在書中列出公理和定義，然後一步一步推導出不少定理，例如著名的畢氏定理（Pythagorean theorem）。學界普遍相信歐幾里德並非獨自發現書中定理，而是整理當時已知的數學結果。

在公元前約300年寫成的《幾何原本》長時間以來是西歐國家的重要課本，書中所用的公理方法亦被視為數學證明的典範。[3] 中世紀的伊斯蘭數學家亦發展出重要的算術和代數技巧，使證明不再單靠幾何直覺。

但《幾何原本》的系統亦非完全無誤，除了證明中一些錯處外，歐幾里德有時暗中使用了一些假設而未有明確列出，例如柏齊公理（Pasch axiom）[4]或連續性公理（continuity axiom）。

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既然再嚴謹的人也有可能走漏眼，以致證明的步驟之間有漏洞——而且這還是相對簡單的歐氏幾何，現代數學要複雜得多——那麼如何能夠確保證明無誤？

形式系統
到了19世紀末，數學界開始出現一場危機。樸素集合論的一些悖論——例如著名的「羅素悖論」（Russell's Paradox）——令數學家擔心數學的基礎隱含矛盾，開始研究如何為數學奠下穩固的根基。數理邏輯及集合論在這段期間發展迅速，逐漸成為數學界的主流語言。

數學家希爾伯特（David Hilbert）提倡以純符號操作的「形式系統」（formal system）重構涉及無限的數學，再用數學方式去研究這個系統的符號變化，企圖證明不會推導出代表矛盾句（例如「0=1」）的公式，從而確保數學根基穩妥。

簡單來說，一個形式系統會規定可以用的符號，這些符號組合起來就稱為「公式」，其中能夠由系統推導出來的公式就稱作「定理」。形式系統包含變換規則，會清楚列出如何把一條定理中的符號改變，從而得出另一條定理。當然，系統亦會首先「免費」提供一些定理，符合特定條件的公式可以成為「公理」（公理也是一種定理）。


形式系統是希望把數學中「由公理出發，推導出結論」的證明方法，以一種抽象方式嚴格定義，讓數學家可以用數學方法去研究數學本身。而形式系統中的證明——簡稱為「形式證明」——就是一串順序排列的公式，每一句要麼是系統中的公理，或者由較早出現的公式應用變換規則得出來。

理想和現實
回到如何確保證明無誤的問題。如果能夠把用文字及數學公式寫成的證明「翻譯」成純粹符號組成的形式證明，那麼，檢查證明是否成立的工作，便可化約為檢查公式之間的符號改變是否合乎規則——後者理應像下棋時，檢查每一步棋有否遵守規則一樣簡單。

在形式證明之中，每一步驟之間的變化減至最小，就只是按規則增加、刪除或轉換公式中的符號，這樣就能夠避免數學家一不留神在證明中犯錯——例如用上未寫清楚的假設、推導過程有誤等。

嚴格來說，只要知道形式系統的規則，不懂數學的人都可以檢查證明。

理論上，形式證明可以確保嚴謹，避免推理過程有漏洞。可是在絕大多數的數學書、期刊論文上，你不會見到形式證明，數學界所使用的證明仍然以文字及數學公式為主，原因很簡單︰純粹由符號構成的形式證明並不實用，把所有細節都寫出來會令證明又長又繁瑣，令作者或讀者均不好受。

相比之下，混合文字解說與數學公式的非形式證明，在大部分情況下能夠兼顧「嚴謹」及「易讀」兩項要求（當然是否真正易讀，也得視乎作者寫作功力和讀者知識水平）。當然，那些數學證明應該能夠「翻譯」成形式證明，不過在有人（或機械）把形式證明寫出來檢驗之前，這想法仍只是個信念——雖有大量證據支持，可是兜了一大個圈，似乎還是難以確保證明絕對嚴謹無誤。

另一個定義
現實中無法使用理想的形式證明，可見數學證明應該不只是形式證明，那麼應該如何判斷證明是否成立？

我們不妨考慮數學證明實際上扮演甚麼角色。除了上文提到傳統上「由公理出發、以邏輯推導的論證」外，亦有人把「數學證明」定義為「用來說服數學界（相關領域專家）某數學命題成立的論證」[5]，而判斷證明是否成立的標準，就取決於能否說服到數學界。

對於相信數學知識絕對客觀、不受人為因素影響甚至超越時空的人而言，第二個定義比較難接受——因為按照這個「社群式」定義，能夠說服數學家社群的就是成立數學證明，這似乎取決於人本身，那豈不是可能出現「過去並不接受的數學證明，未來可能視作成立」又或者「過去接受的數學證明，未來或會被推翻」等情況？



不過想深一層，這個定義其實並沒有表面上看那麼奇怪。即使你接受「數學柏拉圖主義」——相信有一個超越時空限制的抽象數學世界，而任何數學命題是真是假取決於那個抽象世界，而非我們身處的現實世界——問題是，我們仍然身處這個世界，你如何得到那個世界的知識？如果我們要靠數學證明來確認數學命題是否成立，不論是讀到書上的證明抑或只靠腦中推演，這始終涉及現實世界。[6]

此外，以「說服數學界的論證」來定義「數學證明」，也不會令「甚麼是數學證明」的條件變得任意和主觀，因為推理是否有效、步驟合不合邏輯等問題在大部分情況下均有客觀標準（而每個數學家判斷時均會參考這些標準），引起分歧之處往往在於證明寫得不夠詳細、清晰。如果整個數學界對於「怎樣才算有效推理」「證明怎樣寫才算足夠清楚」等問題的看法有極端改變，說服數學家的過程除需要時間外，更需要有好理由——而我們應該接受，在數學問題上以整體數學界的意見為準，是最可靠的做法。[7]

其實我們也難以堅持「形式證明才是唯一絕對可靠的證明」這種立場，哥德爾不完備定理（Gödel Incompleteness Theorem）對形式系統的限制，令數學家無法靠形式系統來保證現時使用的數學理論沒有矛盾——即使我們有非常可靠的證據相信那些數學理論沒有問題。[8]

人類的數學知識
正如上文所述，數學史上也出現過「以往被普遍接受的做法，後來不為數學界接受」的情況，當數學家不斷研究下去，總有可能發現以往沒發現的漏洞、未曾考慮的假設，更別說不計其數的大意錯誤、不完整的證明了。數學知識會隨學界共識而改變，其實沒那麼奇怪。數學研究是人類活動，而人總有可能犯錯，追求絕對無誤純屬奢望，我們應該接受這個事實，同時數學仍然是人類知識當中最可靠的一環。[9]


假如望月新一的證明是個形式證明，我們或能夠說「這個證明也許成立，但我們暫時不知道」，可是它並非形式證明。現在沒有人能夠明白的數學證明，我們無法視作成立（因為它未能說服數學界），假如未來有人明白該證明，並成功向其他數學家解釋，說服他們證明正確，那時候我們才能夠說證明成立。

但我相信一定會有人問︰如果我們用電腦來協助證明、檢查證明呢？這是個有趣問題，將留待另一篇文章討論。

相關文章︰

「99%確定」還不足夠，所以這數學家再次證明了「克卜勒猜想」
89歲數學家宣稱證明了黎曼猜想，不過先別太興奮
數學家聚首牛津　嘗試破解望月新一的神秘數學證明
註︰

Skepticism surrounds renowned mathematician's attempted proof of 160-year-old hypothesis (Science)
Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture (Quanta Magazine)
這並非指數學家都參照《幾何原本》來寫證明。以現今標準，歷史上不少數學理論其實不甚嚴謹，例如舉足輕重的數學家歐拉（Leonhard Euler）推導公式時，就用上現時不被接受的方法（但後人亦有用嚴格方式證明其公式）；微積分剛出現時，數學家都使用不清晰的「無限小」，要到後來有人嚴格定義「極限」等概念，這門學科才有可靠的基礎。（而到了20世紀，包含「無限小」的數學模型同樣有嚴格基礎。）
Wikipedia: Pasch's axiom
例如《Weapons of Math Destruction》作者Cathy O'Neil在2012年討論望月新一的證明時曾提到這種觀點，數學家Keith Devlin在美國數學協會的網誌上亦有提及此定義，另外亦可參考由Devlin所寫、一段討論數學證明的師生對話。
如想了解數學哲學中的柏拉圖主義，可參考《史丹福哲學百科》的相關條目︰Platonism in the Philosophy of Mathematics。
當然這種定義亦有難題待處理，例如人類只餘下一個數學家的話，是不是這位數學家寫的任何證明都成立？又例如一條定理在何時才算被證明？不過我沒打算在本文處理這類問題。
關於這問題，可以參考我在〈如何知道數學無矛盾？〉一文中的討論。
我認為即使柏拉圖主義者也能夠接受這個看法，因為這並不涉及數學的本質問題（我不打算處理這問題），而是跟人類如何獲得數學知識有關，當然柏拉圖主義本身在知識論方面亦有難題需要解決。
核稿編輯︰王陽翎

痛打落水狗

伪民科真疯狗王晓明简历

王晓明，男，知名伪民科。王晓明是四川省乐山市四川石油管理局峨眉疗养院职工，也曾在四川省成都市金牛区营门口社区医院、河南省郑州市泌尿外科医院和宁夏回族自治区固原市宁夏中医男性病研究所等处的男性科工作。家庭住址为乐山市市中区长青路2518号3栋1单元401室。

造谣经历

王晓明常年造谣攻击中国数学家。下列为典型案例。

造谣攻击陈景润

王晓明早年曾是研究哥德巴赫猜想的民科之一，但并未取得有意义的结果。然而王晓明非但没有检讨自己，反而常年在各种网络论坛和网络百科造谣攻击陈景润、王元和潘承洞等在哥德巴赫猜想研究中取得成就的中国数学家，并发表对哥德巴赫猜想的荒谬看法。曾因破坏相关条目页面被维基百科管理员封禁。

造谣攻击刘路

2011年，中南大学应用数学专业的本科生刘路解决了西塔潘猜想。王晓明借此事炒作自己，先是编造谣言称刘路和中南大学校长张尧学“造假”、“出现错误”，“向相关教育部做检讨”，其后又发表《刘路事件——又一个数学诈骗案件》的荒谬文章，继续造谣攻击刘路和张尧学。然而，中国工业与应用数学学会理事赵克文研究员出来打假，视王晓明为“伪民科”（指并不真正研究科学问题，伪装成民科并对民科整体形象产生负面影响的人），使得王晓明阴谋破产。

造谣攻击张益唐

2013年，张益唐向《数学年刊》投稿《Bounded gaps between primes》，被数学界认为是孪生素数猜想研究的重大突破。此后王晓明一直造谣攻击张益唐，并在《Bounded gaps between primes》一文正式发表于《数学年刊》2014年第179-3期之后，仍以自己没有能力看到《数学年刊》的荒唐理由，一味造谣称此文并未发表，原因是其本人曾向《数学年刊》发电子邮件“揭露”张的论文“有错”，然而很快便被揭穿其根本不懂外语。

王晓明将自己的谣言以及关于孪生素数猜想的荒谬观点四处发表于多个论坛，在多个论坛均有网友向其展示《Bounded gaps between primes》已经发表的证据甚至是正式发表之全文的情况下，王晓明仍然视而不见，坚持造谣，而且居然认为张益唐发表文章并获得多项国际奖励，都是美国政府和中央情报局的阴谋。这种荒诞无稽的阴谋论为为众多网友所不齿，其本人也沦为网络笑柄。

王晓明为其荒谬的《张益唐事件》一文在维基百科、百度百科、互动百科和搜狗百科创建了词条，然而均很快被删除，并再次遭到维基百科管理员封禁。更为可笑的是，王晓明还曾将其各种谬论用翻译软件翻译成日文、韩文添加至日文和韩文维基百科。然而由于目前的翻译软件远远不能实现准确翻译，而王晓明又根本不会外文，因此其所编辑的文字很快就被日文和韩文维基的编辑者标注为“意义不明的机器翻译”并删除。

造假经历

王晓明还经常在百度贴吧等处张贴假文物图片，有造假贩假之嫌。例如有一次，王晓明曾在百度古币吧贴出一枚明显为假的“西王赏功钱”，并说此钱币是“农民在自己祖先的墓葬里挖出的”，被回帖的网友讽刺为“都刨自己祖坟了，还能刨出什么好货？”“他家祖宗料到自己后代不是好东西了”，一时传为笑谈。

伪理论

民科们往往都能够提出一套自己的理论，尽管绝大多数都是错误的，但是相比较而言，伪民科王晓明连自己的理论都没有，只能在他荒谬的“批判”文章中找到他对一些数学问题和逻辑问题作出的错误理解。这些只言片语姑且可以作为王晓明的伪理论。例如：

王晓明说陈景润证明的陈氏定理“每一充分大的偶数是一个素数及一个不超过两个素数乘积之和”是相容选言命题，但实际上王晓明自己是按照不相容选言命题来理解的，后来甚至还将相容选言推理和相容选言命题这两个不同的逻辑学概念混为一谈。这说明王晓明既看不懂数学命题，又不懂逻辑学，只能乱用专业术语，装相露馅。  

张益唐论文《Bounded gaps between primes》一个关键公式中出现的下极限符号，王晓明最初完全不认识，在看了其他人的文章后，又理解成先取下确界再求极限，说明其对数学分析完全没有了解，竟然也敢对解析数论的问题说三道四。被别人指出后，王晓明只得盲目套用逻辑学术语，硬说张益唐的结论是特称判断，然而其对张益唐结论的内涵仍然完全不能理解，再一次暴露了他既不懂数学，又不懂逻辑学。

王晓明因为见识浅薄，曾经发表过“数学定理都是全称判断”的错误看法。实际上有许多经典的数学定理都是特称判断。

危险言论

王晓明虽然宣传张益唐是因为反对Communism才被美国看中的阴谋论，但是其本人就是潜在的反动分子，经常发表危险言论。例如，王晓明曾经于2015年1月13日在凤凰视频的评论区用账号“呆呆苯苯洒洒”留言“中华民国万岁”；又曾经在百度哥德巴赫猜想吧转发法轮功网站“大纪元”的报道，还曾经将造谣帖发在海外反动网站阿波罗新闻网的论坛，表明了其本人的反共立场。

精神胜利

王晓明声称，自己于2016年给普林斯顿大学、肯黎贝、泰勒、牛津大学等证明费马大定理的团队写信，指出了费马大定理证明中的“错误”，并且贴出了一张安德鲁怀尔斯于2017年拍摄的表情严肃的照片，认为这是怀尔斯害怕的表现，并且洋洋自得地表示“安德鲁怀尔斯后半辈子都会在痛苦中度过。我只希望他勇于承认错误，而不要自杀。”

常用网络账号

王晓明在维基百科、维基教科书、百度百科、百度贴吧、互动百科、科学网、果壳网、人大经济论坛、网大论坛、强国论坛、天涯论坛、凯迪论坛、阿波罗论坛、数学中国论坛、数学研发论坛、《数学通讯》论坛、数联天地、善科网、知乎、网易博客、新浪博客、新浪微博、搜狐社区、乐乎社区、明镜博客、多说评论、畅言评论等处均注册有账号及傀儡账号，其常用用户名有：wxmspt、wangxiaoming_550、数学院士的导师、正确的腐败的、不要谢不要谢、1598335w、呆呆、呆呆笨笨、呆呆笨笨洒洒、呆呆苯苯洒洒、呆呆笨笨塞塞、Dhhxkds、求实求是、确实确实、qsqs、ygvfe、ygkxj、ygsxj、plkoij、iuytre、qwerty、meimei123789、王大达、科学理想高于天、科学大师、希尔伯特大师、逻辑学之王、小小数学家、哈哈哈哈、Wxmsptwxmspt、Fgddw、Hpwrk、Hpwrkxm等。其中Wxmsptwxmspt、Fgddw、Hpwrk、Hpwrkxm、Dhhxkds、求实求是等等都是王晓明在维基百科使用的傀儡账号，多数已被维基百科管理员识别出来并实施了永久封禁的处罚，理由是“屡次增加不实资料”并且“累犯”，此后王晓明仍使用匿名方式破坏维基百科，但因其IP地址仍指向四川乐山，因此还是能够被轻易识破；而wxmspt这个账号曾经是百度哥德巴赫猜想吧的吧主，后因为长期造谣造假而被处罚下台，王晓明至今屡教不改，仍将哥德巴赫猜想吧作为其主要活动场所。伪民科王晓明简历

jzkyllcjl

楼上网友：我的认识如下。请指教。哥徳巴赫猜想的难以解决性质与替换问题
很多人都对哥德巴赫猜想进行了研究，但可以说都没有证明这个猜想。这个猜想涉及到所有非0自然数，所有素数。由于①所有非0自然数的集合、所有素数的集合都是“永远写不到底、算不到底的无穷集合”。②所有偶数都是按照“偶数是奇数继数的法则”构成而不是按照偶数是素数和的法则构成的，所以这个猜想具有难以解决的性质。为此，笔者根据自然数集合是有穷自然集合序列趋向性非正常集合与素数的爱拉托士散纳筛子的方法，想到采用依赖爱拉托士散纳筛子的方法的“计算小于某个偶数A 的一切偶数的素数和的问题” 替换哥德巴赫猜想。这时，可以首先使用1替换2作为第一个素数，这时100以下的素数依次是：1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47.53.59，61，67，71，73，79，83，89，97。然后根据这个素数集合，依次得到2是1的继数，2等于两个素数1的和，4是3的继数，4等于1与3 两个素数的和，6是5的继数，6等于1与5 两个素数的和，也等于两个素数3的和，8是7的继数，8等于1与7 两个素数的和，也等于两个素数3与5的和，10是9的继数，10等于3与7 两个素数的和，也等于两个素数5的和，12是11的继数，12等于1与11 两个素数的和，也等于两个素数5与7的和，14是13的继数，14等于1与13 两个素数的和，也等于两个素数3与11的和，16是15的继数，16等于3与13 两个素数的和，也等于两个素数5与11的和，18是17的继数，18等于1与17 两个素数的和，也等于两个素数7与11的和，20是19的继数，20等于1与19 两个素数的和，也等于两个素数3与17、7与13的和、，……，依次下去，可以得到小于A=30，100的许多偶数的素数和表达式。希望有志于哥德巴赫猜想的研究者，继续做下去。虽然做不到底，但得到的结果A 越大越好。这样得到的结果是可靠的、确实的、具体的。

elim

吃狗屎的jzkyllcjl的认识， 与数学证明没有关系。

任在深

jzkyllcjl 发表于 2021-7-16 16:24
楼上网友：我的认识如下。请指教。哥徳巴赫猜想的难以解决性质与替换问题
很多人都对哥德巴赫猜想进行了研 ...

胡说八道，无用的！
你和elim是一路货色！！

elim

应该说，拜狗屎的日本楞种与吃狗屎的 jzkyllcjl 实际上差不多， 但拜狗屎貌似更拙劣些，所以更不值关注。

jzkyllcjl

楼主：我认为：联系实践的应用是检验数学证明的唯一标准。

elim

jzkyllcjl 发表于 2021-7-17 17:27
楼主：我认为：联系实践的应用是检验数学证明的唯一标准。

测不准的实践检验不了绝对准的数字．

jzkyllcjl

elim 发表于 2021-7-18 05:42
测不准的实践检验不了绝对准的数字．

elim 建立不了绝对准数学体系。

elim

jzkyllcjl 就是个学渣，它的东西不是数学，其证明当然不算数．