数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 761|回复: 41

求 x > 0 使 \(x^{x^4} = 4\)

[复制链接]
发表于 2021-7-10 23:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:求 x > 0 使 \(x^{x^4} = 4\)
发表于 2021-7-11 03:08 | 显示全部楼层
和前一题相似。答案唯一

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-7-11 21:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2021-7-11 06:55 编辑

令\(\,y=x^4\) 则原方程等价于\(\,(y^{\frac{1}{4}})^y=4,\,y^y=4^4,\,y=4,\,x=\sqrt[4]{4}.\)
注记:\((1)\quad\)注意\(\,a^{b^{\large c}}=a^{(b^{\large c})}\ne a^{bc}=(a^b)^c\)
\(\qquad\,(2)\quad{\small f(x)=}x^{x^4}\) 连续,严格增,无上界\(,\small f(1)=1< 4,\;\therefore x=f^{-1}(4)\)
\(\qquad\qquad\;\)存在唯一。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-7-12 00:23 | 显示全部楼层
一般结果:\(x^{x^n}=n\iff x=n^{\frac{1}{n}}\;(x, n>0)\).
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-7-12 11:58 | 显示全部楼层
楼上 elim 的帖子很好!已收藏。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-7-12 18:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 liangchuxu 于 2021-7-15 21:52 编辑

对不起,前面解答不对,纠正一下。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-7-12 19:55 | 显示全部楼层
楼上“证明”了\(n^{n^n}=n\) ? 明显不对啊……
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-7-13 22:38 | 显示全部楼层
\(n = x^{x^n}=((x^n)^{1/n})^{x^n}=(x^n)^{\frac{1}{n}x^n}\iff\)
\(n^n = (x^n)^{x^n}\iff x^n = n\iff x=\sqrt[n]{n}\)
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-7-15 12:58 | 显示全部楼层
elim 发表于 2021-7-13 22:38
\(n = x^{x^n}=((x^n)^{1/n})^{x^n}=(x^n)^{\frac{1}{n}x^n}\iff\)
\(n^n = (x^n)^{x^n}\iff x^n = n\iff  ...

正确吗!
         假设 n=√3,或3.
                 如何?!

                 
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2021-8-1 14:41 , Processed in 0.078125 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表