数只是我们心灵的产物

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数只是我们心灵的产物

作者 | 蔡天新
来源 | 本文摘编自蔡天新教授所著新书《经典数论的现代导引》之序，内容有删减，文中部分图片由蔡天新教授提供。

这是一本数论书, 是一本有关整数(有时也涉及有理数)的书, 相信每一位受过中等或高等教育的人都能看懂或部分看懂. 数论的迷人和神秘之处、疑惑和难点在于, 整数的基本单位素数(质数)的分布是不规则的. 许多伟大的数学猜想，都与素数密切相关，比如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、费尔马大定理、黎曼猜想. 然而, 2013年初春的一个早上,我在准备上 “数论导引” 课时却发现, 我们的手掌和身体里包含着三个最小的素数. 事实上,每个人的大拇指有2个关节, 其余手指各有 3个关节, 而每只手通常有 5个手指. 这个发现让我兴奋.



整数或自然数是人类最古老的发明. 在农业社会以前, 人们尚且穴居在山洞里, 他们仅有的财产是家畜, 每天放牧出去的牛羊必须如数归来. 因此,计数可谓人类生存的需要, 它首先是一种谋生的工具. 后来, 随着经济社会的发展, 才渐渐地上升为一门学科或一门艺术——数论. 本书保留了基础数论的基本内容, 这既可以让我们窥见其成长过程, 方便初学者和爱好者入门，又有助于容纳一些新内容、新思想;与此同时,我们不断提炼、揭示出自然数的新的奥秘.


耶鲁大学藏泥板书7289号(约公元前18世纪—前16世纪).巴比伦人用60进制有理数表示根号2  ,精确到小数点后5位

将近一个世纪以前, 在美国出生的英国数学家莫德尔在一篇随笔中写道，“数论是无与伦比的, 因为整数和各式各样的结论, 因为美丽和论证的丰富性. 高等算术(数论)看起来包含了数学的大部分罗曼史.   如同(数学王子)高斯给索菲·热尔曼(一位热爱素数的法国商人之妻)的信中所写的, ‘这类纯粹的研究只对那些有勇气探究她的人才会展现最魅人的魔力’. ”或许有一天, 全世界的黄金和钻石会被挖掘殆尽, 可是数论, 却是用之不竭的珍宝.

从某种意义上讲, 数论是年轻人的事业. 1801年, 24岁的德国青年高斯出版了处女作《算术研究》, 从而开创了数论研究的新纪元. 据说这部伟大的著作曾投寄到法国科学院而被忽视, 但高斯在友人的资助下将它自费出版了.  在那个世纪的末端, 数学史家莫里茨·康托尔这样评价: “《算术研究》是数论的宪章. 高斯的出版物就是法典, 比人类其他法典更高明, 因为无论何时何地从未发觉出其中有任何一处错误. ”高斯自己更是赞叹, “数学是科学的皇后, 数论是数学的皇后. ”

在这部少作的开篇, 高斯即定义了同余, 它是那样浅显易懂, 与我们的日常生活休戚相关:任意两个整数 a 和 b 被认为是模 n 同余的,假如它们的差 a -b 被 n 整除. 高斯首次引进了同余记号, 他用符号“≡” 表示同余.于是, 上述定义可表示为

有了这一方便的同余记号以后, 数论的教科书便显得简洁美观. 今天,基础数论教程的开篇大多介绍整除或可除性. 实际上,整除或带余数除法(由此衍生出来的欧几里得算法在中国、印度、希腊等不同的文明中有着各自的渊源故事和名称) 也是一种同余式.


当公元前3世纪的欧几里得算法应用于20世纪末的扭结理论

接下来, 线性丢番图方程, 指数、原根或指标, 均与同余有关, 更不用说一次、二次和 n 次剩余了.初等数论中最著名的问题, 如欧拉-费尔马定理、威尔逊-高斯定理、拉格朗日定理、荷斯泰荷姆定理、卢卡斯定理、库默尔定理、冯·斯陶特-克劳森定理和中国剩余定理, 均与同余有关. 后者的名字值得商榷,本书采用了“秦九韶定理”的称谓, 这既还原事实真相, 也符合学术界的惯例. 我们同时指出, 密码学中的RSA公钥体制除了依赖欧拉定理之外, 还与秦九韶的大衍求一术密切相关.



此外, 我们也给出了不少素幂模甚或整数幂模同余的新结果, 包括拉赫曼同余式、莫利定理和雅可布斯坦定理的推广，以及三类完全椭圆积分的傅里叶级数展开式的系数部分和.  其中，拉赫曼同余式在怀尔斯之前一直是研究费尔马大定理的重要而有效的工具. 诚如加拿大和爱尔兰的两位同行所指出的, 这一推广(指从素幂模同余到整数幂模同余)是 1906年以来的第一次.



之所以能提出此类问题，是因为我们把整数的加法和乘法结合起来考虑，这一点受到了abc 猜想的形式启发，后者可以轻松导出费尔马大定理等一系列著名猜想和定理，其在数论领域的影响力迅速替代了已被证明的费尔马大定理. 事实上，毕达哥拉斯的完美数和友好数问题也是这两种基本运算的结合，它们具有恒久的魅力。正是从这里开始，我们的想象力获得提升.


提尔的鸟笼，作者摄于黎巴嫩。这里曾是发达的腓尼基商埠，毕达哥拉斯的故乡，被有的科学史家认定是数论的诞生地。

除了华林问题，我们也把赫赫有名的费尔马大定理做了相应的推广. 2018年秋天以来，普林斯顿高等研究院的一位成员确信，可以用怀尔斯等人证明费尔马大定理的那套方法来研究这个问题，但却无法完全解决. 经过一番探究之后，我们得到了一些结果，同时也提出了一类新问题. 它是费尔马大定理的完全推广，且无法由abc 猜想导出. 此外，我们还利用椭圆曲线理论，研究了新费尔马方程在二次域中的可解性. 这项工作被英文维基百科的“费马大定理”条目收作参考文献，是这一引人瞩目的数学条目参考文献中仅有的一篇由中国作者撰写的论文.


法国邮票上的费尔马大定理




19世纪英国士兵在印度发明的斯诺克，台面由半圆和三角形数组成。

本书是《数之书》（高等教育出版社，2014；英文版，The Book of Numbers, WorldScientific, 2016）的修订版（共有100多处修改和补充），是过去20多年我在浙大数论教学和研究的心得. 前5章受费马注释丢番图《算术》的激励，几乎每一节都有新的发现. 它们构成基础数论的主要内容，第6章把若干最深刻的同余式从素数模推广到整数模，而第7章焕然一新，堪称全新的创造. 本书的另一特色是前6章各小节后面的补充读物，希望借此拓广读者的知识面和想象力，递增他们对数论的兴趣和热爱. 这是一种新的尝试，补充读物至少有两种功能：

其一，介绍了其他数论问题的初步知识和研究，例如欧拉数和欧拉素数，阿达马矩阵和埃及分数，佩尔方程和丢番图数组，阿廷猜想和特殊指数和，椭圆曲线和同余数问题，哥德巴赫猜想和孪生素数问题，abc 猜想和BSD猜想，自守形式和模形式，等等. 其中，椭圆曲线理论是我们的重要工具. 其二，介绍了与初等数论相关的新问题和新猜想，除前面提到的以外，还有格雷厄姆猜想，3x+1问题，广义欧拉函数，覆盖同余系，素数链和合数链，卡塔兰猜想，多项式系数非幂，等等.


21世纪的数学难题——3x+1问题

本书也研究了最古老的数学问题——完美数问题，这是由古希腊的毕达哥拉斯学派开创的.  经过2000多年的努力，18世纪的欧拉终于得到了偶完美数的充要条件，它与17世纪的梅森素数一一对应. 至于k 阶完美数等推广，人们只得到零星的结果. 我们率先考虑了平方完美数的情形，得到了它的充要条件，它与13世纪的斐波那契素数一一对应。

本书第7章无疑是最现代、最富创新性的，我们把经典数论中的6大问题（除了完美数，还有华林问题、费尔马大定理、欧拉猜想、埃及分数和同余数问题）做了另类观察和拓广，得到了许多新结果，同时也提出和留下了更多有趣的问题和猜想.  以往我们总是追随外国同行的足迹或命题，希望本书的出版有助于改变这一状况. 可是，也正因为问题和猜想比较多（有时较为大胆），容纳了个人的研究经验，尤其是近年来的思考（有的尚未发表），谬误之处在所难免，期望读者予以发现和纠正。

最后，在全书末节，我们提出了纯粹原创的问题——abcd 方程. 设n 为任意正整数，考虑方程
              
      n=(a+b)(c+d) , 其中 abcd=1 ,

此处 a，b，c，d 为正有理数。对哪些 n , 上述方程有解？在有解时是否有无穷多个解？这是一类既奇妙又复杂的问题，堪比同余数. 我们找到了无穷多个 n 使方程有解，同时也排除了更多的 n 的可解性. 这个问题的研究既包含了初等数论的许多技巧，又与椭圆曲线理论和BSD猜想等有着密切的联系. 目前，在 1000 以下的正整数中，尚有 7 个数未能确定其可解性。

本书的写作得到了十多位研究生、本科生和合作者的协助，他们参与研究的某些工作和国内外一些同行的相关成果在书中有所展示. 遗憾的是，由于我们的视野所限，加上知识结构的单薄，虽曾虚心讨教，仍错失了许多同行发现的稀世珍宝. 值得一提的是，我们不少工作的进展和预测得到了计算机的帮助，这是我们比古代同行优越的地方. 就重要性来说我们认为，计算机之于数论学家，犹如望远镜之于天文学家。

坦率地承认，本书书名《经典数论的现代导引》（A Modern Introduction to Classical Number Theory）的灵感来自于斯普林格出版社的英文数论名著 A Classical Introduction to Modern Number Theory（GTM 84，1982），作者是加拿大新不伦瑞克大学的Kenneth Ireland 和美国布朗大学的Michael Rosen. 记得那是2019年初春的一天，我和责编胡海霞老师在交谈时获得灵感. 而真正的缘由，则在于本书的最后一章内容以及前面各章的诸多备注和补充读物。

值此本书出版之际，我要特别感谢已故英国数学家、剑桥大学教授、菲尔兹奖得主阿兰·贝克和卡塔兰猜想的证明者、哥廷根大学教授普莱达·米哈伊内斯库的褒奖，前者称赞新华林问题是对此问题“真正原创性的贡献”，后者勉励作者“在当今繁杂的数学世界找到了一片属于自己的领地”，并对加法和乘法数论相结合的思想表示肯定，他认为这是一类崭新的丢番图方程，“像艺术家一样有着自己独特的品味”. 普莱达曾三次来杭州，在一篇有关abc 猜想的综述文章中（Around ABC，载《欧洲数学会通讯》，2014)，他以丢番图方程的变种（Diophantine Variations）为名专节谈论了作者提出的加乘方程，并称之为“阴阳方程”（yin-yang equations）。

数论是幸运的,   她吸引了历史上许多伟大的数学家,  毕达哥拉斯、欧几里得、秦九韶、斐波那契、笛卡儿、费尔马、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、高斯、雅可比、狄利克雷、黎曼、希尔伯特, 其中三位还是隐士, 他们把自己精妙的发现悄悄记录在笔记本上; 还有一些孜孜不倦探索自然数奥秘的人:   丢番图、勒让德、华林、库默尔、卢卡斯、哈代、莫德尔、拉马努金、爱多士、怀尔斯; 更有一些业余爱好者: 梅森、哥德巴赫、索菲 · 热尔曼、威尔逊、帕格尼尼、波洛克、德波利尼亚克, 有几位只是蜻蜓点水, 便在数学史上留芳。

综观本书提出的一些问题, 尤其是第 7章, 仍有许多引人入胜的工作要做.这应是本书最有价值的部分, 我们期待它们能开出艳丽的花朵, 结出丰硕的果实. 自从费尔马大定理被攻克以来, 数论领域捷报频传, 先是卡塔兰猜想(2002) 获得证明, 然后是abc 猜想(2012) 和奇数哥德巴赫问题(2013) 被宣布解决(前者尚未获得公认), 孪生素数猜想(2013) 也取得了重大突破.  另一方面, 这也是一把双刃剑，给数论界敲响了警钟：会下金蛋的鸡越来越少了. 但愿, 本书的出版会是一缕清醒的空气、一股新鲜的血液，能够催生出一两只雏鸡。

最后，我想引用高斯的一段话作为结束语，“数论提供给我们一座用之不竭的宝库，储满了有趣的真理，这些真理不是孤立的，而是最紧密地相互联系着.伴随着这门科学的每一次成功发展，我们不断发现全新的，有时是完全意想不到的起点。算术理论的特殊魅力大多来源于我们由归纳法轻易获得的重要命题，这些命题拥有简洁的表达式，其证明却深埋于斯，在无数徒劳的努力之后才得以发掘；即便通过冗长的、人为的手段取得成功以后，更为清新自然的证明依然藏而不露.”



《经典数论的现代导引》英文版，新加坡World Scientific 同步出版（因疫情稍有延期），封面照片由作者摄于其先师潘承洞先生苏州祖屋.