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取石子问题

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发表于 2021-6-11 17:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
有三堆石子,数量分别为18,20,36,两个人轮流取石一次,每次从任意一堆石子中,至少取走1颗,谁取到最后的一颗石子为输,请指定一个取胜策略。
发表于 2021-6-11 17:29 | 显示全部楼层
三)尼姆博奕(Nimm Game):有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次  至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。  &#160;&#160;&#160; 这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显  然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一  样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,  接下来都可以变为(0,n,n)的情形。  &#160;&#160;&#160; 计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算。这种运  算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看(1,2,3)的按位模2加的结果:  1 =二进制01 2 =二进制10 3 =二进制11 (+) ——————— 0 =二进制00 (注意不进位)  &#160;&#160;&#160; 对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。  &#160;&#160;&#160; 任何奇异局势(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0。  如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?假设 a < b< c,我们只要将 c  变为 a(+)b,即可,因为有如下的运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)  0=0。要将c 变为a(+)b,只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可。  &#160;&#160;&#160; 例1。(14,21,39),14(+)21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14  ,21,27)。  &#160;&#160;&#160; 例2。(55,81,121),55(+)81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势  (55,81,102)。  &#160;&#160;&#160; 例3。(29,45,58),29(+)45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,45,48)。  &#160;&#160;&#160; 例4。我们来实际进行一盘比赛看看: &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 甲7,8,9)->(1,8,9)奇异局势 &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 乙1,8,9)->(1,8,4) &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 甲1,8,4)->(1,5,4)奇异局势 &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 乙:(1,5,4)->(1,4,4) &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势 &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 乙:(0,4,4)->(0,4,2) &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势 &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 乙:(0,2,2)->(0,2,1) &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势 &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 乙:(0,1,1)->(0,1,0) &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势 &#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160;&#160; 甲胜。
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