数学中的美——秩序与和谐

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数学中的美——秩序与和谐

作者 | 雷勇

前言：头一段参加了平行线教育的“根源教学法”研讨会，浮躁的教育背景下，平行线在数学教育中没有跟风炒作“巧法妙解”，而是追求“教的是根 学的是源”，这种责任感令人感动。借此机会，也写了一点东西，展示自己在数学教学中对追根溯源的理解。本文经过蒋迅老师修改，逻辑上更加通顺，认识层次上有了提高，但是个人认识水平有限，愧对蒋老师修改。

人们感觉数学枯燥，往往是因为数学抽象，不够直观。事实上，在数学理论、图形或者数学理论与图形的相互关系之中，随处可见它们所呈现的简单、整齐、对称、和谐之美。这些美感不仅给喜欢数学的人带来愉悦，在数学家研究数学问题时，它们也常出其不意地给数学家带来新的思考方向。庞加莱说过，“能够做出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人”。即使我们不是数学家，学习中多关注数学中的秩序与美，也更容易培养起对数学的兴趣，更好地看到数学的本质。

让我们从一个大家熟知的经典问题说起，感受一下数学中的秩序与和谐之美。

“求 1+2+…+n 的值是多少？”

很多人接触这个问题，是源于一个关于高斯的传说。高斯解决这个问题的方式是将这个求和反序再写一次，对应的数字相加，和是固定的 n+1 ，总共有 n 项，于是可以计算出 1+2+…+n = n(n+1)/2 。



这个计算方法本身已极具创造力，在此基础上，我们还可以把这些数字用小球展现出来，让原问题变得直观且易于理解。您只需对图形做简单的分析，就可以得到结果。1+2+…+n 的和，就是这个小球方阵中小球个数的一半：n(n+1)/2 。



上述方法的本质是倒序相加，但是图中的分割折线给我们带来另一个思考的角度——用单位面积的正方形代替原来的小球。这体现了一种数与形的深层关系。在很多代数问题的无字证明中，这是关键所在。这样处理的好处是，把原来计算小球个数的问题，转化成了一个计算下图面积的问题。斜线左下方的面积是一个边长为 n 的正方形面积的一半（即 n^2/2），斜线右上方的阴影部分面积是 n/2 ，因此图形面积为 n^2/2+n/2 ，而这个结果就是 1+2+…+n的和。



看了前面的分析您是不是跃跃欲试了？下面给读者朋友们一个类似的问题：

“求 1+3+5+…+(2n-1) 的和是多少？”

这个问题与高斯解决的求和很类似。但这里只是奇数的求和。我们立即想到，高斯的倒序方法也应该适用。我们也应该能够想到，上面摆小球的方法也值得一试。经过认真思考，再看看下面的图形，有没有一种恍然大悟的感觉？



在前面探讨的基础上，我们提出一个更具难度的问题：

“求 1×2/2+2×3/2+…+n×(n+1)/2 的值是多少？”

看到上式每一项的特征，您有没有跟第一个例子里面的小球联系起来？如果仍然用小球来表达的话，这个问题就转化为下图n堆小球加起来总数是多少？



为了更容易地解决上面的问题，我们尝试把原问题转化成一个更有秩序的问题。在下图的正方形点阵中做如图所示的分割，这样正方形点阵就被分割成两个上图中的点阵。如此，我们解决了下图的求和问题，上图的求和问题也就迎刃而解了。下图求和问题用数学表达式进行表达，就是求 1^2+2^2+…+n^2 的值。



然而，对于平方的求和问题，用平面上的二维图形是很难直观表达出来的，需要在原有思考方式的基础上进行调整。我们可以采用排列组合中的一个常用小技巧。可以想象在每个小球上都标上数字（如下图），那么所有小球上的数字之和就是 1^2+2^2+…+n^2 的值。为方便求和，我们把第一个图绕中心顺时针旋转120度得到第二个图，再把第二个图绕中心顺时针旋转120度得到第三个图。这时我们发现，这三个图形对应位置的数字和是一个定值 2n+1 。结合前面已经解决的问题，算出三个图形中的所有数字之和为 n(n+1)(2n+1)/2 就变得很简单了。





数学给我们带来的美感，有着多方面的表现。最后给出的级数求和结果，展现出数学中惊人的和谐和一致。上面给出的很多的例子展现出，代数和几何图形往往是相通的，两者的结合往往让人们对题目的理解更加深刻。当我们转换一种视角看待问题，有时能更好的感受到数学中的对称和简洁，让证明无需文字。您是不是也关注到了，辅助线在代数问题中也大有用武之地。除了辅助线，前面问题中还用到了图形的映像反射和旋转。当人们可以自觉运用这些思想的时候，也许数学就不再枯燥，不再可怕，因为您看到数学的简单、整齐、对称和和谐。

参考文献：
[1]《数学写真集——无需语言的证明》 作者：(美)尼尔森 编
[2]《数学的精神、思想和方法》 作者：米山国藏 著

王守恩

从简单算起。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
=1×2/2+2×2/2+3×2/2+4×2/2+5×2/2
=(1×2/2+2×2/2)+3×2/2+4×2/2+5×2/2
=(2×3)/2+3×4/2+4×2/2+5×2/2
=(2×3/2+3×2/2)+4×2/2+5×2/2
=(3×4)/2+4×2/2+5×2/2
=(3×4/2+4×2/2)+5×2/2
=(4×5)/2+5×2/2+6×2/2
=(4×5/2+5×2/2)+6×2/2
=(5×6)/2+6×2/2+7×2/2
=(5×6/2+6×2/2)+7×2/2
=(6×7)/2+7×2/2+8×2/2
=(6×7/2+7×2/2)+8×2/2
=(7×8)/2+8×2/2+9×2/2

1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9
=1×2×3/3+2×3×3/3+3×4×3/3+4×5×3/3
=(1×2×3/3+2×3×3/3)+3×4×3/3+4×5×3/3
=(2×3×4)/3+3×4×3/3+4×5×3/3+5×6×3/3
=(2×3×4/3+3×4×3/3)+4×5×3/3+5×6×3/3
=(3×4×5)/3+4×5×3/3+5×6×3/3
=(3×4×5/3+4×5×3/3)+5×6×3/3
=(4×5×6)/3+5×6×3/3+6×7×3/3
=(4×5×6/3+5×6×3/3)+6×7×3/3
=(5×6×7)/3+6×7×3/3+7×8×3/3
=(5×6×7/3+6×7×3/3)+7×8×3/3
=(6×7×8)/3+7×8×3/3+8×9×3/3

1×2×3+2×3×4+3×4×5+4×5×6+5×6×7+6×7×8+7×8×9
=1×2×3×4/4+2×3×4×4/4+3×4×5×4/4+4×5×6×4/4
=(1×2×3×4/4+2×3×4×4/4)+3×4×5×4/4+4×5×6×4/4
=(2×3×4×5)/4+3×4×5×4/4+4×5×6×4/4+5×6×7×4/4
=(2×3×4×5/4+3×4×5×4/4)+4×5×6×4/4+5×6×7×4/4
=(3×4×5×6)/4+4×5×6×4/4+5×6×7×4/4
=(3×4×5×6/4+4×5×6×4/4)+5×6×7×4/4
=(4×5×6×7)/4+5×6×7×4/4+6×7×8×4/4
=(4×5×6×7/4+5×6×7×4/4)+6×7×8×4/4
=(5×6×7×8)/4+6×7×8×4/4+7×8×9×4/4

1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+4×5×6×7+5×6×7×8+6×7×8×9
=1×2×3×4×5/5+2×3×4×5×5/5+3×4×5×6×5/5+4×5×6×7×5/5
=(1×2×3×4×5/5+2×3×4×5×5/5)+3×4×5×6×5/5+4×5×6×7×5/5
=(2×3×4×5×6)/5+3×4×5×6×5/5+4×5×6×7×5/5+5×6×7×8×5/5
=(2×3×4×5×6/5+3×4×5×6×5/5)+4×5×6×7×5/5+5×6×7×8×5/5
=(3×4×5×6×7)/5+4×5×6×7×5/5+5×6×7×8×5/5
=(3×4×5×6×7/5+4×5×6×7×5/5)+5×6×7×8×5/5
=(4×5×6×7×8)/5+5×6×7×8×5/5+6×7×8×9×5/5

王守恩

王守恩 发表于 2021-6-5 07:41
从简单算起。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

这也是"杨辉三角"。

1/1×1/1×2/2×3/3×04/4×05/5×06/6×...=1, 1, 01, 01, 001, 001, 001, ...
1/1×2/1×3/2×4/3×05/4×06/5×07/6×...=1, 2, 03, 04, 005, 006, 007, ...
1/1×3/1×4/2×5/3×06/4×07/5×08/6×...=1, 3, 06, 10, 015, 021, 028, ...
1/1×4/1×5/2×6/3×07/4×08/5×09/6×...=1, 4, 10, 20, 035, 056, 084, ...
1/1×5/1×6/2×7/3×08/4×09/5×10/6×...=1, 5, 15, 35, 070, 126, 210, ...
1/1×6/1×7/2×8/3×09/4×10/5×11/6×...=1, 6, 21, 56, 126, 252, 462, ...
1/1×7/1×8/2×9/3×10/4×11/5×12/6×...=1, 7, 28, 84, 210, 462, 924, ...

兼听明偏听暗

哥德巴赫猜想的美，到目前有三层意思：
一、对称性
以自然数N（大于等于3）为对称点的数轴两边，一直存在两个等距离的素数，即N-M，N+M，同时是素数。
从5、6年级的小学生，到数学博士研究生，从国内到国外，皆能够体会到这种对称的美，由于随着N的增大，这种美越发成立，引得无数仁人志士或明或暗地在证明着，可惜，到目前为止，没有权威的结论。
二、扩大2倍与缩小1/2倍的对称性
扩大2倍与缩小1/2倍，讲得是两个新概念，按照小于2N的所有素数，重新规序形成的概念，具体意思可参见我的《哥德巴赫猜想的证明--连表变形定理》，这种美被我证明，但没有得到他人认可，不过从扩大2倍与缩小1/2倍，这种美的说法，也是能体会到的。
三、数量之美
两个数量：1、连表最大个数，2、N-2N之间的素数个数，这两个量是：第一个量大于等于第二个量。这个美不太容易被察觉，细想想也很美。不过这个美是第二种美的推论，同样参照《哥德巴赫猜想的证明--连表变形定理》。

如果第二个美，被证明了，则第一个美，自然也就被证明了。