数学基础与黎曼猜想 ——《数学简史：确定性的消失》读后思考

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数学基础与黎曼猜想 ——《数学简史：确定性的消失》读后思考

作者：欧阳晓世



《数学简史：确定性的消失》中写道：一个寓言恰如其分地概括了二十世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经伫立了许多世纪。城堡的地下室生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网。于是，它们慌乱地加以修补，因为它们认为正是蛛网支撑着整个城堡。

可以说，该书主要是在追问数学基础。数学也是一种语言，最终必然是以原始概念作为基础，所以数学基础就是原始概念。

原始概念与逻辑起源

有意义的词语，可分为不可解释的词语和其他词语。解释其他词语，最终要用不可解释的词语来描述。所谓不可解释的词语，就是试图解释该词语时会导致重言现象。

试图解释词语X，是意味着：知不知X。显然，在中文里只有试图解释「知不知」时，才会导致重言现象：知不知「知不知」。不妨称此为重言检验。

在中文里除了「知不知」，其他词语都不能通过重言检验。例如，有人说「善」是不可解释的。但是，试图解释「善」，是意味着：知不知「善」，并没有导致重言现象。因此，在中文里「知不知」是唯一不可解释的词语。需要指出的是，中文里的方言是同义的。

不可解释的词语，就是原始概念，也可以称为第一概念、最高概念、自明概念、自足概念、终极意义，等等。

通常所谓逻辑起源，其实是指逻辑联结词的来源。「知不知」在形式上呈现了「正反合」：先后、否定和合取，它们构成了一个逻辑联结词完备集，可以推出其他逻辑联结词。所以，原始概念「知不知」可以说明逻辑联结词的来源，就是所谓逻辑起源。

人们容易遗漏其中的「先后」，那是忽视了「正反合」与「反正合」的区别——也就是「知不知」与「不知知」的区别。现代通用逻辑系统的致命缺陷，就是缺少通常用括号来表达的「先后」这个必不可少的逻辑联结词。

一种语言，只有能够构造不可解释的词语——自足概念，才是自足语言。通过谷歌翻译，在其他语言中找不到在意义和形式上都能对应中文「知不知」的词语。所以，可能只有中文才是自足语言。

「知不知」是唯一不可解释的词语——原始概念，那么在逻辑上它就是第一命题或第一原理。

数学原点与黎曼猜想

一般认为，数学是最精确的语言。尴尬的是，由于没有找到数学基础——原始概念，以往构造自然数都是从假设出发。

唯一的原始概念「知不知」已经找到，只有它才有资格作为一切的中心。中心存在，就必然具有居中功能。用数学语言说，中心就是中点，居中功能就是中分运算。中分运算存在，必然会依次持续进行。先用＋表示中分运算，不需假设就可以自然地构造出自然数：

＋→1，＋＋→2，＋＋＋→3，＋＋＋＋→4……

显然，所谓自然数就是中分运算的序数兼基数，是从1开始的。有了自然数，中分运算就可以用1/2来表示。1/2既可表示中分运算，又可表示作为中点的常数。也就是说，1/2具有运算和常数的二象性，是原始概念「知不知」的数学表达。

具有中分运算功能的常数1/2才是真正的数学原点，中分运算才是最基本的运算。中分运算属于除法，所以除法是四则运算的基础，数系扩充必须满足除法封闭性。

数学原点1/2确定了，就很容易证明著名的黎曼猜想。素数属于自然数，素数计数函数属于素数构造规律。数学原点1/2构造出自然数，它决定自然数构造规律，必然也决定素数构造规律，从而也决定素数计数函数。只要黎曼从欧拉乘积公式出发得到的素数计数函数成立，它就是由黎曼ζ函数非平凡零点决定的。那么，决定素数计数函数的数学原点1/2必然在黎曼ζ函数非平凡零点之中，不是在虚部，就是在实部。已知黎曼ζ函数非平凡零点的虚部不是常数，所以其实部必然是数学原点1/2。

可以说，黎曼猜想是在追问数学基础，从此应该可以成为黎曼定理。