数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 1819|回复: 3

a,b 是互质的正整数,证明:当整数 n≥(a-1)(b-1) 时,必有非负整数 x,y 使得 n=ax+by

[复制链接]
发表于 2021-5-10 18:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
猜想:若a、b为互质数,则当N>=(a-1)(b-1)时,必有N=a*j+b*k(j、k为0或正整数)成立。

我的思路是:
(一)(a-1)(b-1)-1=a*j+b*k不成立,即必定从(a-1)(b-1)开始成立;
(二)从(a-1)(b-1)开始,连续a个数都成立,即令M=(a-1)(b-1),对于M,M+1,M+2,……M+a-1,都有合适的j、k使等式成立;
(三)往后的a个数是M+a,M+a+1,M+a+2,……M+2a-1,这些数减去a之后,正好对应(二)中的一个数,若(二)中对应的数可表示为a*j+b*k,则(三)中对应的数可表示为a*(j+1)+b*k;
(四)按照(三)再向后推进a个数,可以无限次地推进,直至无穷大。所以,只要最前面的a个数成立,则对于N>=(a-1)(b-1)的所有N都成立。

我用程序验算过一些比较小的数,结果对于猜想都是成立的。但我无法证明。

这个能证明吗?
发表于 2021-5-11 09:10 | 显示全部楼层
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子:



本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 1 反对 0

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-5-12 03:56 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2021-5-11 09:10
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子:

谢谢!虽然和我的猜想还有一段距离。
另外,貌似有等式写错了,证明的第五行,两条等式左边的p貌似应该是n。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-5-12 08:49 | 显示全部楼层
谢谢楼上 杨林 指出我在第 2 楼帖子中的笔误!现已更正。

第 2 楼的帖子,并不完全符合楼主提出的命题。下面是完全符合楼主命题的证明:





本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 1 反对 0

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-29 17:39 , Processed in 0.101562 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表