反馈计算法

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开方是乘法的逆运算，是第5种算法，现在一般都是借助计算机计算。以前是利用牛顿二项式定理开方，现在有开平方公式和开立方公式。
参考文献：【数学传播】136期，【从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法】王晓明

求方根公式       
\(x_{n+1}=x_n+(\tfrac{ A}{x^{k-1}_n}-x_n)\)/k

开立方公式       
　即k=3
\(x_{n+1}=x_n+(\tfrac{ A}{x^2_n}-x_n)\)/3

　　例如，被开方数A=5，k=3,即求：

　　　5介于1的3次方与2的3次方之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

　　初始值 \[x_0\]可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取\[x_0=2\] 按照公式：

　　第一步：\(x_1=2+(\tfrac{ 5}{2^2}-2)\)/3=1.7。输入值大于输出值，负反馈；

即5/4=1.25，
1.25-2=-0.75，
-0.75×1/3=-0.25，
2+(-0.25)=1.75。
比前面多取一位数。即取2位数值即1.7。

　　第二步：\(x_2=1.7+(\tfrac{ 5}{1.7^2}-1.7)\)/3=1.71
输入值小于输出值，正反馈。

即5/1.7×1.7=1.73010，
1.7301-1.7=0.03，
0.03×1/3=0.01，
1.7+0.01=1.71。
取3位数，比前面多取一位数。

　　第三步：\(x_3=1.71+(\tfrac{ 5}{1.71^2}-1.71)/3=1.709.（输入值大于输出值，负反馈）

　　第四步：\(x_4=1.709+(\tfrac{ 5}{1.709^2}-1.709)\)/3=1.7099。（输入值小于输出值，正反馈）

　　这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

偏小，输出值自动转大。

　　



开平方公式       
如果用这个公式开平方，只需将k改为2即可。

\(x_{n+1}=x_n+(\tfrac{ A}{x_n}-x_n)\)/2


例如，被开方数A=5：

5介于\[2^2\]至 \[3^2\]之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取

中间值2.5。

第一步：\(x_1=x_2.5+(\tfrac{ 5}{2.5}-2.5)\)/2=2.2；

即5/2.5=2，
2-2.5=-0.5，
-0.5×1/2=-0.25，
2.5+(-0.25)=2.25，
取2位数2.2。

第二步：\(x_2=x_2.2+(\tfrac{ 5}{2.2}-2.2)\)/2=2.23

即5/2.2=2.272727，
2.272727-2.2=-0.072727，
-0.072727×1/2=-0.036363，
2.2+0.036363=2.23。取3位数。

第三步：\(x_3=x_2.23+(\tfrac{ 5}{2.23}-2.23)\)/2=2.23=2.236；

即5/2.23=2.242,
2.242-2.23=0.012,
0.012×1/2=0.006,
2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位数。计算次数与计算精确度成为正比。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。

一种计算方法只有进入反馈计算才能进入自动化。人工智能也是一种反馈算法。

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自动反馈计算是因为母系统在接受子系统刺激时能够自动调节。调节幅度只能在一个合理程度内。

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一个发现

在古玩市场买到一枚青铜镜，不仅仅体型巨大22.8厘米，缘厚7毫米，肉最薄4毫米。是目前世界上最大的透光镜。透光镜就是照射镜面的光线反射的墙面，能够显示镜面的花纹。

这个青铜镜与玻璃镜几乎没有差别，颜色和细小局部非常清晰（第2张照片）。

不知道2000年以前古人是怎么样铸造的。

特别令人惊奇的是，如果光源是圆形的（见倒数第3张照片），就能显示透光纹饰；如果光源是方形的（倒数第一张照片），就不能显示透光。这个机理是否可以用于对抗雷达扫描？光波与声波毕竟有所不同。

透光原理科学家至今仍然不清楚。

光学上的意外常常产生奇特的效果。
一百多年前，英国一位工人在提水时候，因为水桶有一个小洞，水桶里的水往外流呈现抛物线，这个工人异想天开，用一把手电筒从里往外照射，奇迹出现了，光线从水桶里往外照射时，光线穿过水桶后不是直线照射，而是与水柱呈现抛物线弯曲。第二条，英国报纸报道了这个事件。为我们今天的光纤通信提供了最原始的信念和依据。

这个汉代青铜透光镜的圆形光源可以反射纹饰，方形光源不能产生纹饰，会不会也产生重大的应用？例如抵抗扫描；例如暗示密码。

铜镜背面

鉴面

镜子边缘


圆形光源


产生透光效果

方形光源，无法产生透光效果


多发几张照片