丘成桐：我的几何人生

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3月30日下午，《我的几何人生：丘成桐自传》新书发布会在北京举行。该书是当代最具影响力的数学家之一丘成桐的唯一自传，讲述他由中国乡村的清苦少年成长为举世瞩目的顶级数学界的励志故事，由译林出版社出版。发布会由译林出版社、清华大学丘成桐数学科学中心联合主办。

著名数学家、中国科学院院士杨乐，清华大学副校长彭刚，东南大学副校长吴刚，江苏凤凰出版传媒股份有限公司总编辑徐海，泰康保险集团创始人、董事长兼首席执行官陈东升, 阳光媒体集团董事长杨澜出席并致辞，到场的还有来自清华大学、上海交通大学、重庆理工大学、北京市第四中学、丘成桐科学基金会等知名机构的专家、学者、领导以及同仁。发布会由译林出版社社长葛庆文主持。

彭刚向丘成桐出版新书表达了祝贺。丘成桐虽然去国多年，却依然心系祖国，心系中国基础教育，尤其是中国的数学教育。丘成桐在培养未来数学及相关领域的领军人才的努力，将会结出累累硕果。徐海讲述了凤凰集团与清华、与丘成桐先生的深厚渊源。他相信，每一位打开这本书的读者，都会被丘成桐对数学的真与美的执著追求、屡败屡战的拼搏精神所打动，并且从中深深受益，获得信心和力量，获得为美好人生奋斗的不竭动力，获得心系家国的宽广胸怀。

丘成桐感谢父亲培养他对知识的热爱、母亲为子女做出的牺牲，正是父母的言传身教，让他文理相融、面对困境坚韧不拔；感谢陈省身等老一辈数学家的无私提携，引领他遨游于数学的国度；最幸运的是遇到斯蒂芬·萨拉夫，经他的指点，得以在众多师长的帮助下到了伯克利深造。他认为，数学拥有神奇的力量，对那些懂得驾驭它的人来说，数学能打破距离、语言、文化的隔膜，把他们立时拉在一起，交流共通的知识。“对我来说，数学赋予我的，是一本让我在世界各处随意走动的护照，同时也是探索这世界强而有力的工具。”丘成桐说道。

他认为，数学家像文学家一样天马行空，凭爱好创作，数学可以说是人文学科和自然学科的桥梁。他自小随父亲遍读中国古典文史典籍，一生受惠。少年最喜爱的《红楼梦》的结构影响了他对数学的看法。书中情节千丝万缕，角色层出不穷，要花时间和眼力，才能把情节和人物联系起来，形成整体。他看待数学，尤其是几何分析也是这样。数学有很多不同的分支，乍一看毫无关系，但当站得足够远再看，就会发现它们都是一棵大树的各部分。好的数学也应该同《红楼梦》一般，揭示普罗众生的问题，触及大自然中的芸芸现象，这样才能够深入，才能够传世。

在丘成桐看来，“数学家盼望的不是万两黄金，也不是千秋霸业”，数学家追求的是永恒的真理，热爱的是理论和方程。数学比诗章还要华美动人，可以富国强兵，可以安邦定国。他认为，21世纪应当是中国人扬眉吐气的时代，他有责任为中国数学教育服务，帮助中国成为数学强国，成为领导世界的国家。

丘成桐分别向清华大学图书馆、丘成桐数学科学中心，东南大学，北京市第四中学赠送新书。

在嘉宾发言环节，杨乐院士追忆与丘成桐的缘起往事，表示这本自传展现了一位至真数学家的风采；吴刚认为，中国科学的发展，离不开一代又一代学者的辛勤耕耘与奉献，也离不开各界朋友的关心与支持；陈东升表示，成大事者必先苦其心志，忍受常人之所不能，丘成桐直面坎坷、永不言弃的精神，值得学习和尊重；杨澜称赞这本自传中文功底深厚，她认为每个人都应跨越学科的藩篱，在这本书中找到中华文化与数学的真与美。

《纽约时报》曾在题为“数学皇帝”的丘成桐人物专稿中这样写道：“丘成桐的故事就是展示中国的一个窗口。通过他，我们可以看到一个有着五千年文明历史的国家，正努力与现代科学结合在一起。如果这种结合获得成功，最终将重塑世界科技的平衡。”虽然世界上可以理解“卡拉比—丘流形”的人屈指可数，但这部《我的几何人生》，则让我们每个人得以发现人生的形状，汲取坚持的力量，触及人类智慧可能性的最远边界，向永恒的真理再走近一步。

据悉，《我的几何人生：丘成桐自传》有声书邀请了知名艺术家演播，目前进入了制作阶段，将于5月在各大有声书平台上线，纸、电、声书一体化的新出版模式将满足不同读者的细分需求。

编辑/王雅静

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【新书访谈录】丘成桐：《我的几何人生》
近日，“数学界的诺贝尔奖”——菲尔茨奖首位华人得主丘成桐先生的中文版自传《我的几何人生》，与读者见面了。丘成桐曾说：“数学赋予我的，是探索这世界强而有力的工具。”几何人生，人生几何。他如何不停地挑战人类智慧之巅，如何畅游于文理世界，又如何倾注心力培养后学……带着疑问和崇敬，本报记者于2月20日在清华大学静斋专访了被誉为“数学皇帝”的丘成桐先生。

数学是寻求自然界真相的科学

光明日报：1969年，您由香港飞往美国留学，热切地展开对新世界的探索，您希望以数学为出发点，依靠它的指引，照亮寻找真和美的旅程。半个多世纪，您在数学王国里自由翱翔，成就不凡。您能与读者分享一下其中的真和美吗？
丘成桐：数学之为学，有其独特之处。它本身是寻求自然界真相的一门科学，数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，并用数学的方法表达出来。
捕捉大自然的真和美，实际上远远胜过一切人为的造作。正如“云霞雕色，有逾画工之妙。草木贲华，无待锦匠之奇。夫岂外饰，盖自然耳”。
当年我锲而不舍、不分昼夜地研究“引力场方程的几何结构”，就如屈原所说，“亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔”，我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。当时的心境，可以用“落花人独立，微雨燕双飞”来描述。
坦白地说，数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则，甚至在自然界中发挥作用，这就是数学优雅美丽的地方。
我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可谓是描述大自然美丽的诗篇，正如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。

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光明日报：美国物理学家布莱恩·格林曾说：“宇宙的密码，也许就刻在卡拉比—丘空间的几何之中。”我们知道，您凭借证明卡拉比猜想获得了堪称数学界诺贝尔奖的菲尔茨奖，蜚声世界。您是如何不断挑战人类智慧的极限呢？
丘成桐：国学大师王国维撷取宋词的片段来描述一个人成就大事时的三段经历。开始时“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”；之后“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”；到了最后，“蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”。简洁而富有诗意的宋词，正是我用六年时间证明卡拉比猜想的心路历程。也就是说，刚开始时要找到一个制高点，对整个问题有通透的理解，然后不眠不休、废寝忘食地工作，最后灵光一闪，突然看到了完成证明的途径。正如曹雪芹写作《红楼梦》一样，“字字看来皆是血，十年辛苦不寻常”。这是一种奇妙的经验，每一个环节都要花上很多细致的推敲。
做科学研究，能做到什么地步有时候是不知道的，我们只晓得向前，但不晓得要做到什么东西。做科学研究就是要发现前人没有发现的东西，走前人没有走过的路。假如我们晓得会做出什么，就没有科学可言了。所有学问没有做完以前都是很痛苦的。你有一个想法了，自然会高兴一下，但这个想法是否真的能行，心里七上八下。你要回去写下来，反复证明。往往，当时以为自己做对了，此后一算是错的。通常表面上看起来很高兴，验证再验证，十次有九次是有问题的，成功的时候也担心有错。反复找几个朋友验证再验证，有时候跟朋友研究到夜里12点，说“很好很好”，很高兴，第二天早上起来一算，是错的。我证明卡拉比猜想做了很多次，整个证明过程是很慢的。成果出来的时候，也不能讲不高兴，高兴的时候就怕有错。数学是科学，真理容不得错，它有很客观的标准，与文学艺术不一样，不能出错，更不能急躁。我有压力的日子，每以工作为寄托，数学从来没有令我失望。

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数学是人文科学和自然科学的桥梁

光明日报：您曾在自传中提到，少年时最喜爱的小说是《红楼梦》，除了被曹雪芹笔下宝玉和黛玉的爱情故事感动之外，您讲小说的结构后来竟然影响着您对数学的研究。您怎样看待这部文学名著？而它又如何与您的数学王国有关联？
丘成桐：我小学五年级开始读《红楼梦》，此后读过不下十遍。而真正看得懂、有感情是在父亲去世的时候。父亲刚去世的那几个月，我心里非常痛苦，就看了很多童年时他教我的书。《红楼梦》是一部大型创作，结构很严谨。而曹雪芹在很小的方面，比如诗词，也写得很好。无论在大的构思，还是细节的处理，都相当完美。这一点，我是从《红楼梦》里学来的。很多西方的大型创作，比如荷马史诗、但丁的《神曲》、歌德的《浮士德》以及莎士比亚的作品，都有类似之处。那大半年的感情波动，使我做学问的兴趣忽然变得极为浓厚，再无反顾。
《红楼梦》中情节千丝万缕，角色层出不穷，要花时间和眼力，才能把情节和人物联系起来，形成整体。我看待数学，尤其是几何分析也是这样。数学有很多不同的分支，乍一看毫无关系，但当你站得足够远再看，就会发现它们都是一棵大树的各部分，就像《红楼梦》中贾府各人的宗谱关系一样。我努力思考，希望对整棵数学大树有整体的认识，同时也专注于几何分析这刚刚发芽的新枝。
另外，我在研究和奋斗的过程中，始终不搞太抽象的数学，总愿意保留大自然的真和美。《红楼梦》能够扣人心弦，是因为这部悲剧描述了家族的腐败、社会的不平、青春的无奈，是一个普罗众生的问题。而好的数学也应该能接触到大自然中的芸芸现象，这样才能够深入，才能够传世。

光明日报：您讲从小就读过《史记》《汉书》《三国演义》和《水浒传》，对中国古典诗词也颇有研究，您还作了很多赋，写过楹联，出版过诗文集。对一个数学家而言，读者未免难以理解。您认为数学研究与文学创作有什么关联吗？
丘成桐：幼年庭训，影响我最深的是中国文学。我最大的兴趣，却是数学。所以，将它们做一个比较，对我来说是相当有意义的事。
关于数学，中国儒学将它放在六艺之末，是一门辅助性的学问，当政者更视之为雕虫小技，与文学相比，连歌颂朝廷的能力都没有，政府对数学的尊重要到近些年来才有极大的改进。西方则不然，希腊哲人以数学为万学之基。柏拉图以通几何为入其门槛之先决条件，所以数学家拥有崇高的地位。
坦白地讲，数学家像文学家一样天马行空，凭爱好而创作。所以，数学可以说是人文科学和自然科学的桥梁。
中国诗词都讲究比兴，有深度的文学作品必须要有义、有讽、有比兴，数学也是这样。我们在寻求真知时，往往只能凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自然的感觉而向前迈进，这种感觉是相当主观的，因个人的文化修养而定。
文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象界，例如贾岛只追求“僧推月下门”或是“僧敲月下门”的意境，而不在乎所说的是不同的事实。数学家为了创造美好的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，就可以尽情地发挥想象力。然而文章终有高下之分，大致说来，好的文章比兴的手法总会比较丰富。

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培养数学领域中国自己的顶尖人才

光明日报：截至目前，您在清华大学、中国科学院、浙江大学等中国多个高校院所及中国香港和台湾地区建立了丘成桐数学研究中心，培养了很多青年才俊。很多有志于数学研究的青少年，在您的关照下，正体会着数学带给他们的真与美。关于数学人才的培养，您有哪些感受？
丘成桐：去年我在北京雁栖湖应用数学研究院成立贺词中提到，数学家盼望的不是万两黄金，也不是千秋霸业，毕竟这些都会成为灰烬。我们追求的是永恒的真理，我们热爱的是理论和方程。它比诗章还要华美动人，因为当真理赤裸裸呈现时，所有颂词都变得渺小；它可以富国强兵，因为它是所有应用科学的源泉；它可以安邦定国，因为它可以规划现代社会的经络。
我始终认为，一个国家没有强大的数学基础，就没有良好的科技。中国的数学需要推一把，提升中国的数学水平是我一向的宗旨。这是先父的教导，老师陈省身也秉持同样的宗旨。十几年来，我花了大量时间，在中国办数学中心，积极投身于那里的数学和科学活动，正是因为我相信青年人，他们将新思维带进各个领域，渐渐地加强影响，整个学术界都会焕然一新。
2008年，我办起了“丘成桐中学数学奖”，俾使中学生也可以浅尝做研究的滋味，鼓励他们的创造性和合作性。这类竞赛是我抗衡中国刻板式教育制度的一招。你要知道，真正的研究并不是把老师给的习题解出来便算完成，而是至少在你研究的具体项目中超越老师。鼓励独立思考，并给予适当的空间，中国学生可以更具有创造性。前段时间，清华大学发布“丘成桐数学科学领军人才培养计划”，无须高考，面向全球招生，初三的学生就可以入学，我们的目的就是要培养在数学科学领域中国自己的顶尖人才。
中国现在的年轻人还是与西方有差距，西方人研究数学是真的喜欢，不是为了找一份好工作。我的一个朋友，50年前请我去纽约大学，当时他是教授，十年后他去华尔街做投资，身价已经几百亿美元的今天，他还是对数学有兴趣。美国的学者是真的对数学有兴趣，他们做学问不是拿它当跳板，没有名利企图，他们“不忘初心”。
在中国自己的土地上培养出世界一流的人才，才是真的成就。也就是说，在学术上要自立。现在清华培养的数学专业本科生都还不错，但大部分人毕业之后要出国去。另一方面，我们自己的导师能力还不够强，没有世界一流学者，没有能引领世界前沿的学者。

光明日报：从《我的几何人生》一书的字里行间，我们读出来您的家学渊源深厚，家教严格。这些家风传承对于您日后取得如此大的成就，功不可没。这些潜移默化的家风影响，能与读者分享吗？
丘成桐：我父亲当年是大学教授，讲哲学、历史、文学和经济。父亲对学生的教育，使得我从小也耳濡目染地接受一些西方哲学思想。那时候主要也是因为家里房子小，一家十口人住在30平方米的房子里。学生们来家里请教，我父亲就跟他们在院子里热烈地讨论，我们小孩子则在旁边听一听，慢慢地就受到一些熏陶。
我们是客家人，父亲饱受客家文化的感染，以培育英才为抱负。大家都认为必须努力读书，学习出色，才能有机会出人头地。从学问而非财富上说，他自身便是一个成功的例子。他是受人尊敬的学者，著书立说。直到今天，父亲仍然是我各方面的榜样。
父母是孩子的第一任老师，小孩子的学习能力很强，学得很快。现在很多父母以为孩子小不懂得他们的谈吐，对自己的很多言谈举止不注意，实际上小孩子很懂得学，他们很早就看父母的表现。做生意的家长，如果搞欺诈，小孩子会以你为榜样，学得很快，坏的东西学得更快。学了以后，自然就表现出来。在我们家里，父母都是正直的人，光明正大，言传身教，我们受益一生。
（光明日报记者 刘彬 计亚男）

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卡拉比-丘成桐六维空间的三维影像

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丘成桐在证明了卡拉比猜想后，情不自禁地吟起了宋朝词人晏几道
在《临江仙·梦后楼台高锁》中的诗句：落花人独立，微雨燕双飞。

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丘成桐与卡拉比猜想60年         刘克峰

20世纪50年代是几何与拓扑学最辉煌的时代。一批年轻的数学家证明了一系列伟大的数学定理，开天辟地，创造了一个崭新的时代。他们与他们的定理一起，熠熠生辉，照亮了整个数学的历史。

卡拉比（Calabi）猜想在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。

1941年的霍奇（Hodge）理论刚刚由魏尔（Weyl）和小平邦彥（Kodaira）整理完成。1945年陈省身引进的陈示性类由希策布鲁赫（Hirzebruch）发扬光大，证明了拓扑中的符号差定理与代数几何中的Hirzebruch-Riemann-Roch定理。工程师出身的博特（Bott）证明了他不朽的同伦群周期性定理。这些结果很快激发出了Atiyah-Singer指标定理。塞尔（Serre）用勒雷（Leray）的谱序列计算了代数拓扑中球面的同伦群，用层论写下了代数几何名篇GAGA，将复分析系统地引入代数几何。Kodaira证明了他著名的嵌入定理，发展了复流形的形变理论。稍后，米尔诺（Milnor）发现了七维怪球，纳什（Nash）证明了黎曼（Riemann）流形的嵌入定理。这些伟大的数学家与他们的定理，如繁星闪耀在天空，令人目不暇给。

1954年的国际数学家大会，菲尔兹（Fields）奖的获奖者是小平邦彥（Kodaira）和塞尔（Serre），他们的主要获奖工作都是将复分析、微分几何与代数几何完美地结合在一起。正如魏尔（Weyl）在他的颁奖词中所说：“他们的成就远远超越了他年轻时的梦想，他们的成就代表着数学一个新时代的到来。”

也是在这届数学家大会上，31岁的意大利裔数学家卡拉比，在会议的邀请报告中用一页纸写下了他著名的猜想：令M为紧致的卡勒（Kahler）流形，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式R，都存在唯一的一个卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。卡拉比还粗略地描述了一个他的猜想的证明方案，并证明了，如果解存在，那必是唯一的。

但3年后，在1957年的一篇关于Calabi-Yau流形的几何结构的文章中，他意识到这个证明根本行不通。这里需要求解一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作复的Monge-Ampere方程。他去请教20世纪最伟大的数学家之一的魏尔（Andre Weil）教授。魏尔说：“当时还没有足够的数学理论来攻克它。”

众所周知，庞加莱（Poincare）著名的单值化定理告诉我们，一维复流形的万有覆盖只有简单的三种，球面、复平面和单位圆盘。如何将单值化定理推广到高维流形，这个问题几乎主导了现代几何与拓扑的发展。而即使从复一维到复二维流形，问题的复杂性已经远超想象，被数学家称作是从天堂到了地狱。或者说是上帝创造了黎曼面，简单美丽而又丰富多彩，是魔鬼制造了复曲面，内容复杂，令人眼花缭乱，头晕目眩。卡拉比猜想可以认为是单值化定理在高维不可思议的大胆推广，竟然给出了高维复流形中难得一见的一般规律。特别的是它在复卡勒流形的第一陈类大于零、等于零和小于零三个情形，指出了Kahler-Einstein度量的存在性，即此度量的第一陈形式等于其卡勒形式。这恰好对应于黎曼面三种单值化的推广。

要知道，当时人们知道的爱因斯坦流形的例子都是局部齐性的，甚至都不知道复投影空间中的超曲面，如K3曲面上，是否有爱因斯坦度量。在这样一种情况下，卡拉比竟然做出如此大胆的猜测，可见其胆识过人，也难怪此后多数几何学家都怀疑此猜想的正确性，许多人都在努力寻找反例，而不是证明它。正如庞加莱的单值化定理，霍奇定理需要经过数年，乃至数十年努力才得到完美的证明一样，卡拉比猜想也在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。

还是在1957年，5岁的丘成桐正在世界的另一端过着清贫的生活，那时的香港几乎没有人知道什么是微分几何。14岁时父亲的去世，更令他饱尝人间冷暖，也造就了他不屈不挠的性格。11年后他进入香港中文大学，1969年，大学三年级的他便负笈求学来到伯克利（Berkeley)。那一年，著名的几何学家伍鸿熙教授在给另一位著名几何学家格林（Greene）的信中，预言这个19岁的年轻人将会改变微分几何的面貌。很难知道伍鸿熙教授如何看出了一个19岁年轻人不同寻常的王者之气。

读研究生的第一年，丘成桐初试身手，便解决了微分几何中一个有关负曲率流形基本群的结构问题，事后他才知道这就是微分几何中著名的沃尔夫猜想。这一点颇像米尔诺（Milnor）把扭结理论里的猜想当成家庭作业完成一样。当遇到卡拉比猜想后，他像是见到了美丽的天使，一见钟情。此后童话般的故事人人皆知，其中的痛苦与快乐也只有丘成桐自己才能体会。后来他告诉所有人，他成功的诀窍是用苦功而非天才，他曾尝试过近五千个实验函数，来发展流形上梯度估计的技巧。所以我们知道，一只苹果掉到头上，令牛顿豁然开朗地发明了微积分，那只是个传说。为了解决卡拉比猜想，他需要系统地创建和发展流形上的非线性分析，特别是Monge-Ampere方程的理论、方法与技巧。他先与郑绍远合作，用实的Monge-Ampere方程解决了著名的闵可夫斯基（Minkowski）猜想和闵可夫斯基时空中的伯恩斯坦（Bernstein）问题，此后再将他自己发展的梯度估计技术发挥到极致，终于在1975年完全解决了卡拉比猜想。此时此刻，除了丘成桐，最高兴的应该是卡拉比，从1954年到1975年，整整21年的梦想终于成为了现实！那一年的圣诞节，他、丘成桐和尼伦伯格（Nirenberg）一起在纽约的Courant研究所度过，整天就是讨论丘成桐的证明。卡拉比猜想终于成为了Calabi-Yau定理！

卡拉比后来回忆，那是他一生中唯一的一次在圣诞节开会，而那个猜想的证明就是最好的圣诞礼物。1991年当他获得了美国数学会终身成就奖时，他动情地说，我特别要感谢丘成桐，因为他，今天我才能站在这个领奖台上。

塞尔说过：“一个真正好的数学猜想，它的解决应该随之而来一系列的推论和绵延不断的影响。”卡拉比猜想就是如此，这里我仅举几个例子。

首先，对于第一陈类小于和等于零的紧卡勒流形，卡拉比猜想告诉我们，Kahler-Einstein度量总是存在。其中对小于零的情形，其简单的推论就解决了长期悬而未决的Severi猜想，复二维投影空间的复结构是唯一的，甚至任意维数复投影空间的卡勒复结构也是唯一的。

另一个匪夷所思的推论是，在任意维数的这类复流形上，存在一个奇妙的陈示性数不等式，而此前代数几何学家却只能得到复二维的情形。第一陈类等于零的二维复流形是有名的K3曲面，托尔罗夫（Todorov）用Calabi-Yau定理证明了其周期映射是满射，萧荫堂利用Calabi-Yau度量证明了所有的K3曲面都是卡勒曲面。而高维数的第一陈类为零的复流形的基本结构定理也随之而来。这些都是复几何与代数几何中著名的猜想，在卡拉比猜想证明之前，人们毫无办法，望而却步。

最令人惊奇的是上世纪80年代初，超弦学家们认识到第一陈类等于零的三维复流形，恰好是他们的大统一理论所需要的十维时空中的一个六维空间，这神秘的六维空间，在我们看不到的尺度里主宰着我们大千世界的千变万化。这个发现引发了物理学的一场革命。物理学家们兴奋地把这类流形称为Calabi-Yau空间，Yau便是丘成桐的英文姓氏。有兴趣的朋友如果在Google中输入Calabi-Yau，就会发现近40万个条目。以至于不少物理学家都以为Calabi是丘成桐的名字。正如威滕（Witten）所言，在这场物理学的革命中，每一个有重要贡献的人都会名扬千古。Calabi-Yau也在数学中引发了一系列重大的进展，如超弦学家Candelas等人通过研究不同的Calabi-Yau流形给出的相同的超对称共形场论所发现的镜对称猜想。这个猜想由丘成桐、连文豪与我以及Givental独立证明，它解决了代数几何中遗留了上百年的舒伯特（Schubert）计数问题。基于Calabi-Yau流形的基本结构，著名超弦学家威滕、瓦法（Vafa）等人发展的Chern-Simons与拓扑弦对偶理论给出了黎曼面模空间中许多奇妙的公式，如Marino-Vafa公式给出了无穷多个模空间积分的组合闭公式，此猜想由刘秋菊、周坚与我一起证明。可以说Calabi-Yau流形早已成为弦论学家们必不可少的魔匣，利用它，他们不断地变换出令人炫目的猜想，这已经成为数学与理论物理发展的潮流，至今方兴未艾。

霍奇理论、小平邦彥嵌入定理、Calabi-Yau定理是复几何发展史上的三个最伟大的里程碑，也是整个数学中屈指可数的最美妙的定理。它们有许多异曲同工的地方。它们都是用微分几何证明的，都是连接几何与其他领域必不可少的桥梁，如代数几何等。它们所需要的条件都简单而容易验证，都包含代数几何与微分几何中最有意义的一大类流形。它们的应用都给出源源不断的重要推论，都成为复几何教科书中必不可少的篇章。这是数学中所有伟大定理的共同特征。

卡拉比猜想的证明也标志着微分几何一个新时代的到来。一个新的学科随之产生，称为几何分析。它的定义就是用非线性微分方程的方法来系统地解决几何与拓扑中的难题，反过来也用几何的直观与想法来理解偏微分方程的结构。

丘成桐在1978年的国际数学家大会的大会报告中系统而清晰地描绘了几何分析与高维单值化理论的发展前景。由此方法，一系列著名的问题得到解决，特别是唐纳森（Donaldson）为代表的规范场理论与低维拓扑的结合，汉密尔顿（Hamilton）的Ricci流与庞加莱猜想的历史性进展，将几何分析的发展带到了一个高峰。

另一方面，早在1983年，丘成桐的学生曹怀东、坂东（Bando）便在他的指导下，首先用Ricci流的方法开始研究卡勒流形上标准度量的存在性，使Kahler-Ricci流成为复流形研究中重要的工具之一。

另一个与卡拉比猜想密切相关的问题是代数几何中全纯向量丛的稳定性与其上的Hermitian-Einstein度量的对应问题，这个问题约化成一个与规范场理论相关的极为困难的非线性方程解的存在性问题。1986年丘成桐与乌伦贝克（Uhlenbeck）合作，在卡勒流形上完全解决了这个问题。稍后，唐纳森也在投影流形上用不同的方法将这个问题解决。1988年，辛普森（Simpson）将这些结果推广并与霍奇变分理论相结合，发展成为代数几何中一个极为有效的工具。

对于复流形的切丛，Kahler-Einstein度量可以认为是没有挠率的Hermitian-Einstein度量，所以Kahler-Eienstein度量意味着流形的切丛在代数几何意义下是稳定的，但要更细致更深刻。多年来，丘成桐一直考虑什么样的代数稳定性对应着Kahler-Einstein度量的存在。从我1988年来到哈佛成为丘成桐的学生，他的讨论班里最多的话题就是代数几何中各种稳定性的概念与相关的度量和分析问题。丘成桐的几个学生，如田刚、李骏、梁乃聪和罗华章等人的博士论文都是讨论这方面的题目。他的一些想法记录在他1990年所发表的100个几何问题集里，这个问题集是为陈省身79岁生日而整理的。第65个问题就猜测Kahler-Einstein度量的存在性应该等价于代数几何中几何不变量意义下的稳定性。在第一陈类大于零的复流形上，这个猜想首次给出了Kahler-Einstein度量存在的充分必要条件，建立了标准度量与代数几何的密切关系。他当时的不少学生，包括田刚在内，都感觉到丘成桐猜想指出了新的研究方向，非常漂亮，也很有意义，开始努力研究丘成桐猜想。在此之前丘成桐也考虑了如何用伯格曼核的想法来逼近Kahler-Einstein度量，如何将卡拉比猜想推广到开流形与有奇点的流形上，并在几篇著名的综述文章中予以详细的阐述。这些都成为今后复几何发展的重要纲领，并引领了日后唐纳森、田刚等人关于Kahler-Einstein度量方面的工作。基于他的一部分想法，丘成桐与郑绍远、莫毅明和田刚整理并发表了一系列的文章，其中一部分组成了田刚的博士论文。众所周知，田刚的博士论文以及日后的主要工作大都从丘成桐的这些想法和猜想引发而来。

与第一陈类小于和等于零的情况相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陈类大于零的情况一直显得颇为迷离。首先这类流形有不存在Kahler-Einstein度量的例子。在20世纪60年代，松岛（Matsushima）证明了Kahler-Einstein流形的自同构群必须可约。80年代初，福复（Futaki）引进了此类流形上存在Khler-Einstein度量的障碍函数，被称之为福复不变量。事实上，很多学者，如卡拉比、福复等都误以为没有全纯向量场应该是Kahler-Einstein度量存在的唯一必要条件，并没有意识到流形本身稳定的重要性。在较特殊的复二维情形，有一些存在性结果，但萧荫堂一直认为，这些结果并不完备，至今也还没有完整的结果。此后近30年，田刚一直沿着丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，试图理解正曲率条件下，稳定性与Kahler-Einstein度量的存在性如何相关，他用福复不变量定义了一个解析稳定性的概念，称为K-稳定性，并取得了一些进展。然而这个问题的真正突破来自于唐纳森，他在2001年证明了如果卡勒流形上的卡勒类中存在一个常数量曲率的度量，并且其自同构群是离散的，那么这个流形就是在代数几何意义下是稳定的。唐纳森所用的关健工具恰好是丘成桐考虑过的伯格曼核的逼近方法，他敏锐地观察到伯格曼核渐进展开的第二项正是数量曲率，如果它为常数，则相应的偏微分方程便可解。此后唐纳森引进了适合研究丘成桐猜想的代数几何意义下的K-稳定性概念，并在2010年公布了证明K-稳定性与Kahler-Einstein度量存在等价性的丘成桐猜想的纲领，最近（编者注：指2013年）陈秀雄－唐纳森-孙菘在网上发表了三篇文章实现了这些想法，而田刚在唐纳森纲领的基础上也宣称完成了这个猜想的证明。由于这些文章都相当复杂，如唐纳森等人写了三篇长文，田刚在贴出自己的文章后还在不断地做出修改，所以这些证明的正确性还有待专家们详细验证。

第一陈类大于零的复流形也叫作法诺流形，这类流形比第一陈类小于零的流形相对来得少，其内容也远不如后者丰富，例如复一维情形只有一个球面，而复二维的流形从拓扑来看也只是复投影空间吹大几个点。更有意思的是代数几何中研究这类流形的工具也远比微分几何的方法强大，特别是1979年森重文（Mori）在法诺流形上用有限域的技巧发现的有理曲线存在性，这是迄今为止微分几何方法一直无法超越的天才发明。以此为工具，代数几何学家对法诺流形几何的了解走在了微分几何研究的前面。

这种情况与第一陈类小于和等于零的情形形成了鲜明的对比，这两类流形包含比法诺流形丰富得多的例子，而由于丘成桐证明的卡拉比猜想，在这些流形的研究中，微分几何的方法和工具更强大也更有效。这里我们还要注意到，正如唐纳森等人在他们的文章中所阐述的，K-稳定性并不是一个容易验证的条件，其实用性也与丘成桐所证明的卡拉比猜想相差甚远。目前他们所证明的丘成桐猜想唯一有意思的推论还是丘成桐所指出的，K-稳定形可以推出切丛的稳定性。所以即使K-稳定性等价于Kahler-Einstein度量的存在性的猜想得到证明，其重要性也需要在日后的应用中才能得到检验。而丘成桐本人则在勾画了他的猜想的证明纲领后，便将题目交给了他的学生和朋友，一方面他认为他的猜想虽然重要，但与他证明的卡拉比猜想相比还是有很大的距离，另一方面他认为弦理论引发的数学问题要比他自己的猜想更具挑战性，也有更大的潜力。事实上，他和他的学生与博士后在Calabi-Yau流形上的工作已经在近代数学中开创了一个新的重要研究方向。至于丘成桐猜想证明的正确性和其在几何学中的前景，只有他这个开创者和专家才有资格来评判了。

当然，卡拉比猜想只是丘成桐众多数学成就的一部分。1978年受邀在国际数学家大会作大会报告时，他29岁。1983年获得数学界最高奖，菲尔兹奖时，他34岁。特别要说明的是那个时候他持香港护照，还是中国公民。他也一直以此为豪。1983年12月22日，当时的中共中央总书记胡耀邦在中南海亲切会见了为祖国争得荣誉的丘成桐教授。此后他几乎囊括了这个世界上一个数学家所能得到最高荣誉，包括沃尔夫奖、克拉福德奖和美国国家科学奖章。然而卡拉比猜想的证明毫无疑问是他数学事业中最为绚丽的篇章，它承载了无数数学家60年的光荣与梦想，造就了几何分析40载的传奇与辉煌。

“落花人独立，微雨燕双飞”，这是丘成桐描述自己证明了卡拉比猜想时的心情所用的诗句。从那一刻起，丘成桐一跃而成为一个伟大的数学领袖，领导了几何学近四十年的辉煌，他代表了数学与超弦理论的一个时代。正如《纽约时报》所言：他是当之无愧的数学皇帝。

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这几天，我正在读网购的《丘成桐自传：我的几何人生》一书，对丘大师非凡的几何人生有了全面、细致的了解，令人肃然起敬！
该书近400页，由丘成桐口述，（美）史蒂夫·纳迪斯著，夏木清译，译林出版社2021年3月出版，全书语言朴实、文词优美，既有生活情趣，又有几何韵味，是一本值得认真阅读、永久收藏的好书。


【注】①丘成桐先生生于汕头、长于香港，作为客家人，他的祖辈世居蕉岭。
②流形（Manifold），是局部具有欧几里得空间性质的空间，在数学中用于描述几何形体。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
③丘成桐最先用非线性微分方程的方法来系统地解决几何与拓扑中的难题，从而开创了一个新的学科：几何分析。