话说到这里,我想起了我高中时想到的一个问题:比如指数函数 y=2^x,当 x 为整数时(不论正负)没有问题,可以得到一个精确的结果,取分数可以看作开方,但是书里给的图像是一条连续的曲线(自然,那时我还没有听说过“连续”这个词),而且定义域也是全体实数。所以一个显而易见的疑惑是,如果 x 取无理数怎么办?我的小脑袋当然不可能对这个问题有太深刻的思索,但我当时已经想到,是不是可以这样:以 x=3.14159…… 为例,可以先让 x=3,然后再让 x 等于 3.1、3.14、3.141……,大概就会慢慢接近于真正的结果了。
类似的问题反复出现。比如某个非常数的函数 f(x) 满足 f(a+b)=f(a)f(b),当时老师给出的问题是求 f(0),方法是令 a 和 b 之一为 0 ,但是我进一步想到这不就是指数函数吗?但是怎么证明呢?对于自变量取有理数的情况很好处理,可自变量取无理数怎么办?还有比如一个三角形正投影到另外一个平面上,形成的新三角形面积和原来三角形的面积之比为 cosθ(θ为原三角形所在平面与投影面的夹角),这个结论扩展为一般的多边形很容易,但能不能用这个关系推导出椭圆面积公式?这是因为当时我已经看过这个式子但没有过程,而且当时我也不会微积分。要用这里提到的投影方法推导椭圆面积,必须证明面积具有可加性。