从不等式说到比例与实数

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从不等式说到比例与实数

作者 | 刘瑞祥

为什么会有不等式这种东西？有人会从哲学上说“相等是相对的，不等是绝对的”，但这不是我今天要说的问题。不等式是和实数的“三歧性公理”密切相关的。这条公理是说，对于任意两个实数 a、b，有且只有 a＞b、a＝b、a＜b 之一。这是所谓实数“序结构”公理之一，而按照布尔巴基学派的观点，数学就是研究结构的学科。

但这有什么用呢？一个比较容易看出的用处是，如果我们直接证明 a＝b 困难，那不妨证明 a＞b 不可能，然后再证明 a＜b 也不可能（往往一句“同理可证”就行了），就能得到结论了。而在古希腊，这种方法频繁地用于所谓“穷竭法”中，以此来推出圆面积、棱锥和球的体积公式。这在《几何原本》里有详细的论述。

《几何原本》里用到三歧性公理的还有比例定义，据说这是欧多克斯所给出的：

有四个量，第一量比第二量与第三量比第四量叫做相同比，如果对第一与第三个量取任何同倍数，又对第二与第四个量取任何同倍数，而第一与第二倍量之间依次有大于、等于或小于的关系，那么第三与第四倍量之间便有相应的关系。

即：设 a、b 是同类的两个量，c、d 也是同类的两个量，对任何的正整数 m 与 n ，若三个关系式 ma＞nb、ma＝nb、ma＜nb 之一成立，必有 mc＞nd、mc＝nd、mc＜nd 中对应的那个成立，则称 a、b、c、d 成比例。

这个定义所以如此繁琐，是因为要避开“无理量”运算。以 √2 为例，说它和另外一个量加减很容易，只要在线段上顺次或者反向截取就行，让它乘以另外一个量则只要给出一个面积就行，让它除以一个整数的话需要等分，也完全能作到。但是要让无理量作除数可就麻烦大了：你怎么证明 √3 除以 √2 等于 √6 除以2？这需要有严密的理论，在古希腊就用前面的比例定义结合由此推出来的定理进行计算。

话说到这里，我想起了我高中时想到的一个问题：比如指数函数 y=2^x，当 x 为整数时（不论正负）没有问题，可以得到一个精确的结果，取分数可以看作开方，但是书里给的图像是一条连续的曲线（自然，那时我还没有听说过“连续”这个词），而且定义域也是全体实数。所以一个显而易见的疑惑是，如果 x 取无理数怎么办？我的小脑袋当然不可能对这个问题有太深刻的思索，但我当时已经想到，是不是可以这样：以 x=3.14159…… 为例，可以先让 x=3，然后再让 x 等于 3.1、3.14、3.141……，大概就会慢慢接近于真正的结果了。

类似的问题反复出现。比如某个非常数的函数 f(x) 满足 f(a+b)=f(a)f(b)，当时老师给出的问题是求 f(0)，方法是令 a 和 b 之一为 0 ，但是我进一步想到这不就是指数函数吗？但是怎么证明呢？对于自变量取有理数的情况很好处理，可自变量取无理数怎么办？还有比如一个三角形正投影到另外一个平面上，形成的新三角形面积和原来三角形的面积之比为 cosθ（θ为原三角形所在平面与投影面的夹角），这个结论扩展为一般的多边形很容易，但能不能用这个关系推导出椭圆面积公式？这是因为当时我已经看过这个式子但没有过程，而且当时我也不会微积分。要用这里提到的投影方法推导椭圆面积，必须证明面积具有可加性。


很多人赞颂过《几何原本》比例论的巧妙，但这个比例定义曾经困扰过许多欧洲数学家，使他们很长时间都不能接受负数：因为 1-1)=(-1):1 ，大比小却等于小比大，这怎么可能呢？

下面回到《几何原本》。书中第五公理说到：“整体大于部分”，这是全书唯一一个关于不等关系的公理。但这一定是正确的吗？比如全体实数和某个区间内的实数孰多孰少？看，如果我们关心的不是“长度”而是“多少”，立马就不一样了。这涉及集合的“势”的概念。一个中学生可能天然地认为“实数比有理数多”的结论却不能接受“整数和有理数一样多”，尽管两者都是正确的，但即使对于前者其实也并无了解，也就是说，他和康托所认为的并不是一回事。

《几何原本》和不等式有关的另外一个比较重要的东西涉及到【X.1】，欧几里得用【V.定义4】——一个量的若干倍大于另一量，就说这两个量有一个比——来论述不可公度量（即今之无理数）的存在。而这个定义后来被阿基米德改造为一条公理，再以后被希尔伯特吸收在了他的《几何基础》里。

希望读者们能深入读一读《几何原本》和《几何基础》。