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求五次方程 x^5+x^4+1=0 的根式解

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发表于 2021-3-6 21:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:求\(x^5+x^4+1=0\) 的根式解.
 楼主| 发表于 2021-3-6 23:55 | 显示全部楼层
解:\(\because\;\;x^5+x^4+1=(x^3-x+1)(x^2+x+1)\),
由二,三次方程的求根公式或自行推导可得所论方程的五个单根:\(-\frac{1}{\sqrt{3}}(\beta+\beta^{-1}),\;\frac{1}{\sqrt{12}}(\beta+\beta^{-1})\pm\frac{\Large i}{2}(\beta-\beta^{-1}),\;\frac{1}{2}(-1\pm i\sqrt{3}).\)
其中\(\,\beta=\sqrt[3]{\large\frac{\sqrt{27}-\sqrt{23}}{2}}.\)

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 楼主| 发表于 2021-3-7 00:08 | 显示全部楼层
相当复杂的论证指出,方程  \(x^5-x-1=0\)的根不能用有理根式表示。
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发表于 2021-3-7 19:06 | 显示全部楼层
楼上 elim 的帖子很好!已收藏。
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 楼主| 发表于 2021-3-9 09:07 | 显示全部楼层

常见的数值代入一般不是某数为方程的精确解的严格验证

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发表于 2021-3-21 20:31 | 显示全部楼层
elim 发表于 2021-3-7 00:08
相当复杂的论证指出,方程  \(x^5-x-1=0\)的根不能用有理根式表示。

真的吗?
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发表于 2021-3-21 20:32 | 显示全部楼层
elim 发表于 2021-3-7 00:08
相当复杂的论证指出,方程  \(x^5-x-1=0\)的根不能用有理根式表示。

zhuanlan.zhihu.com/p/84076057
请elim老师指点错漏,谢谢
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发表于 2021-3-21 20:43 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2021-3-21 22:10 | 显示全部楼层
llshs好石 发表于 2021-3-21 05:32
zhuanlan.zhihu.com/p/84076057
请elim老师指点错漏,谢谢

你在谈 \(x^5 -x +1 = 0\), 不是 \(x^5-x-1 = 0\)

点评

这二个五次方程对应的伽罗瓦群是相同的,对应的根式扩域塔也是同构的  发表于 2021-3-22 17:49
用四元术演绎法可解任意五次方程,只不过解法非常繁琐而已  发表于 2021-3-22 16:40
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 楼主| 发表于 2021-3-21 22:12 | 显示全部楼层

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