P 在四面体 ABCD 内，AP 与 ΔBCD 面交于 A'，证 AP/AA'+BP/BB'+CP/CC'+DP/DD' 为常数

wintex

請問幾何

luyuanhong

kanyikan

记四面体ABCD的体积为V，四面体PBCD的体积为Va，类似地定义Vb，Vc，Vd。
由于面体ABCD是由4个四面体PBCD、PCDA、PDAB、PABC组成，所以V=Va+Vb+Vc+Vd。
由于同底的四面体，其体积比等于其高比，而高之比为过顶点连线与底面相交所截线段长之比，
所以AP/AA'=1-PA'/AA'=1-Va/V，
同理，BP/BB'=1-Vb/V，CP/CC'=1-Vc/V，DP/DD'=1-Vd/V，
所以AP/AA'+BP/BB'+CP/CC'+DP/DD'=1-Va/V+1-Vb/V+1-Vc/V+1-Vd/V=4-(Va+Vb+Vc+Vd)/V=4-1=3。

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。