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给定 y 轴正半轴上 A,B 两点,在 x 轴正半轴上求一点 C,使得 ∠ACB 最大

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发表于 2021-2-25 17:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
这个问题可以用圆解, 是否有其它的方法?
求大神.

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发表于 2021-2-25 21:26 | 显示全部楼层


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謝謝老師  发表于 2021-2-27 18:55
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发表于 2021-2-25 22:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-2-25 22:29 编辑

思路:设OA=a,AB=b,OC=x,∠ACO=α,∠BCO=θ,α和θ皆为锐角,则tan(α+θ)=(a+b)/x,

tanα=a/x。消去x得,tan(α+θ)/tanα=(a+b)/a。所以,tanθ=btanα/[(a+b)(tanα)^2+a]

=b/[(a+b)tanα+a/tanα]≤b/[2√[a(a+b)]。等号成立的条件是当且仅当tanα=√[a/(a+b)],

即x=a(a+b)时,tanθ(是增函数)取得最大值,即θ取得最大值。故所求的点C(√[a(a+b)],0)。
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 楼主| 发表于 2021-2-25 23:11 | 显示全部楼层

谢谢lu教授.
这个解法我回去也练一练.

我花了1个多小时, 用几何思路思考外接圆半径的变化, 目前还是想不出来.
我知道 由正弦定理得知 外接圆半径决定了这个角的变化规律.

随着C点的变化, 三角形的变化规律是, 一边已知, 另外两边其实都是C点决定的.
于是我利用三边求外接圆半径, 结果发现如下2个公式原来是先增后减, 当然我证明不了.



又回到了代数模式.

但是从中垂线实在找不出规律, 因为2个中垂线都是变化的. 头疼.

lu教授能否点拨一下我这样的思路哪里出问题了? 谢谢

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 楼主| 发表于 2021-2-25 23:13 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2021-2-25 22:13
思路:设OA=a,AB=b,OC=x,∠ACO=α,∠BCO=θ,α和θ皆为锐角,则tan(α+θ)=(a+b)/x,

tanα=a/ ...

谢谢解答, 波斯老师的解答我回去一定亲自算一算.

楼上的疑惑能否帮忙看看, 我虽然代数不强, 但我更怕几何.
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发表于 2021-2-26 07:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-2-26 07:28 编辑

另一思路:设OA=a,AB=b,OC=x,显然△ACB的面积S满足(C为锐角)

2S=√[x^2+a^2]√[x^2+(a+b)^2]sinC=bx,即sinC=bx/√[x^2+a^2]√[x^2+(a+b)^2]

=b/√[x^2+a^2(a+b)^2/x^2+a^2+(a+b)^2]≤b/(2a+b)^2。

等号成立的条件是当且仅当x=√[a(a+b)]时,sinC(是增函数)取得最大值,即C取得最大值。故所求的点

C(√[a(a+b)],0)。

注:解决问题,根据题目所显示的特征或特点,首先应考虑较适合自己的思维且较简便的方式方法。除特别限制外,一般不应强求使用某种方法。比如,这个思路就可以说采用的是“面积法”。
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发表于 2021-2-26 13:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-28 06:31 编辑

\(当\  ∠ACO= ∠OBC\ 时, ∠ACB\ 取得最大值,展开就是"射影定理"。\)
\(即: \frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}\ \ 或: OC是OA与OB的比例中项。\)
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 楼主| 发表于 2021-2-27 00:52 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2021-2-26 07:16
另一思路:设OA=a,AB=b,OC=x,显然△ACB的面积S满足(C为锐角)

2S=√[x^2+a^2]√[x^2+(a+b)^2] ...

谢谢博士老师, 学习了.
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发表于 2021-2-27 18:44 | 显示全部楼层


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謝謝老師  发表于 2021-2-27 18:55
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 楼主| 发表于 2021-2-27 19:11 | 显示全部楼层

明白了, 谢谢lu教授.

您那个临界的解释非常细节, 我还是分析的不够细致.

谢谢.
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