证明方程 x(x+2)(x-2)=1 有三个相异实根 a,b,c ，计算 1／(a-1)+1／(b-1)+1／(c-1)

wintex

請問方程式問題

波斯猫猫

思路：（1）令f（x）=1/x，g（x）=(x+2)(x-2)，即g（x）=x＾2-4。1/2=f（2）＞g（2）=0，

1/3=f（3）＜g（3）=5，且在（0，+∞）上，f（x）是减函数，g（x）是增函数，所以两个函数的图象必有一

个交点，即方程f（x）=g（x）必有一个大于2的实根。

-1/2=f（-2）＜g（-2）=0，-1/3=f（-1）＞g（-1）=-3，-99/25=g（-1/5）＞f（-1/5）=-5，且在（-∞，

0）上，f（x）是减函数，g（x）是减函数，所以两个函数的图象必有两个不同的交点，即方程f（x）=g（x）

在（-2,0）之间必有两个不同的实根。即方程 x(x+2)(x-2)=1 有三个相异实根 。

（2）设三个相异实根为 a,b,c ，则a(a+2)(a-2)=1，即（a-1）（a＾2+a+1）=4a，

或1/（a-1）=（a＾2+a+1）/(4a)=a/4+1/(4a)+1/4，同理有，1/（b-1）=b/4+1/(4b)+1/4，1/（c-1）

=c/4+1/(4c)+1/4。所以，对方程x(x+2)(x-2)=1，即x＾3-4x-1=0，由韦达定理有

1/（a-1）+1/（b-1）+1/（c-1）=（a+b+c）/4+（bc+ca+ab）/(4abc）+3/4=0+（-4/4）+3/4=-1/4。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。下面是我的另一种解答：

luyuanhong

liangchuxu

第二问比较赞同陆老师的代数根与系数关系；第一问，用分析方法也比较简单。可以大致确定根的分布位置。

wintex

luyuanhong 发表于 2021-2-25 19:10

請問如何確認

liangchuxu

是的。f(x0)为f(x)的极大值，x0的左边值单调增，且找到左边两个符号相反的值，只能有一个零点；x0的右边值单调减，一直延续至x1，其中f(x1)为f(x)的极小值，x1右边值单调增，f(x1)<0，找到f(x')>0，则两者间又有一个零点。