康威圆定理

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shuxueren 发表于 2021-3-4 18:28

谢谢胡教授！好眼光，一眼看透算式的本质！
(a+b+c)(ab+ac+bc)=3abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2

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如何用△ABC的边长a、b、c，表示康威椭圆的长、短半轴长？
请陆教授和各位老师赐教！

王守恩

shuxueren 发表于 2021-4-29 09:33

35楼的解答(35楼的图)。
\(记R=康威圆半径，r=△ABC内切圆半径，s=\frac{4+3+5}{2}=6\)
\(过圆心o作A_{2}B_{1}的垂线(2R)，P为交点，相交弦定理\)
\((PA_{2})*(PB_{1})=(r+R)*(R-r)\)
\((s)*(s)=(r+R)*(R-r)\)
\(R^2=s^2+r^2=s^2+\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}=6^2+\frac{(6-4)(6-3)(6-5)}{6}=37\)
\(答：△ABC生成的康威圆半径=\sqrt{37}\)

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谢谢王老师的赐教！
请您探究如下更有挑战性的问题：
如何用△ABC的边长a、b、c表示康威椭圆的长、短半轴长？

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shuxueren 发表于 2021-5-2 19:24
如何用△ABC的边长a、b、c，表示康威椭圆的长、短半轴长？
请陆教授和各位老师赐教！

计算机专家、顶级几何高手史勇老师的回复：
想了想，用复对合几何方法（注：史勇老师发明的以复变函数为依据，借助符号软件求解几何问题的高效方法），令 z(a,b,c) = (1-a/b)c^2+ab，则先生图中的 A1~C2六点,可以轻松表达，证明6点共圆锥曲线的方法太多，略；至于，先生要求的椭圆长、短轴，想了想：最好的方法是把我用复表达的6点，取5点改写成Rt坐标，代入二次曲线一般方程，旋转平移后简化为标准方程，则长短轴自然得到，，，只是，大致算了算，要用△的3边来最终得到实结果，表达一定是极为繁琐的！以美学为导向，罢手～