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当 a,b,c>0 时,证明史上著名不等式 a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2

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发表于 2021-2-22 11:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
当 a, b, c > 0  时,证明著名不等式

\( \frac{a}{b+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{a}{b+c}≥\frac{3}{2}  \)

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 楼主| 发表于 2021-2-22 11:53 | 显示全部楼层
证明上述不等式有许多方法,下面提出一个引入中间不等式的方法,即:
如果 A≥B, 而 B≥C,那么就有 A≥C。
对于本题,就是要证明不等式链:
\( \frac{a}{b+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{a}{b+c}≥\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} ≥\frac{3}{2}  \)
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 楼主| 发表于 2021-2-22 11:59 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2021-2-22 12:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2021-2-22 12:06 编辑

上面用到了一个基本不等式 \( a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca \) ,它的证明很简单:

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 楼主| 发表于 2021-2-22 12:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2021-2-22 13:54 编辑

对于主帖中的那个不等式,还有哪些简明的证明方法,请各位发表出来共享。

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 楼主| 发表于 2021-2-22 14:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2021-2-22 21:46 编辑

1905 年,一位名叫内斯比特的英国数学家提出了主帖中的那个不等式。
半个世纪后的 1954  年,数学家夏皮罗提出了这个不等式的一般形式,因此数学界把这个公式叫做内斯比特 - 夏皮罗 (NESBIT-SHAPIRO) 不等式。

经过许多数学家的研究,对于这个不等式的一般形式是否成立的问题,取得了圆满的成果。具体情况见本站内下面帖子:

《内斯比特 - 夏皮罗(NESBIT-SHAPIRO) 不等式简史》
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发表于 2021-2-22 16:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 kanyikan 于 2021-2-22 08:50 编辑

漂亮的不等式,这里给出了25种证法。
http://blog.sina.com.cn/s/blog_1467208510102x776.html

点评

这 25 个证明中,没有排序不等式方法的证明。下面补上。  发表于 2021-2-23 13:45
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 楼主| 发表于 2021-2-23 13:44 | 显示全部楼层
下面用排序不等式方法证明。

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发表于 2021-2-23 15:44 | 显示全部楼层
我的证明

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点评

把左边减右边的差变换成几个非负代数式的和,是很有趣的方法!  发表于 2021-2-23 17:57
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发表于 2021-2-23 19:54 | 显示全部楼层
给出另类方法,凑热闹。

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