当 a,b,c＞0 时，证明史上著名不等式 a／(b+c)+b／(c+a)+c／(a+b)≥3／2

天山草@

当 a, b, c > 0  时，证明著名不等式

\( \frac{a}{b+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{a}{b+c}≥\frac{3}{2}  \)

天山草@

证明上述不等式有许多方法，下面提出一个引入中间不等式的方法，即：
如果 A≥B， 而 B≥C，那么就有 A≥C。
对于本题，就是要证明不等式链：
\( \frac{a}{b+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{a}{b+c}≥\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} ≥\frac{3}{2}  \)

天山草@

天山草@

上面用到了一个基本不等式 \( a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca \) ，它的证明很简单：

天山草@

对于主帖中的那个不等式，还有哪些简明的证明方法，请各位发表出来共享。

天山草@

1905 年，一位名叫内斯比特的英国数学家提出了主帖中的那个不等式。
半个世纪后的 1954  年，数学家夏皮罗提出了这个不等式的一般形式，因此数学界把这个公式叫做内斯比特 - 夏皮罗 (NESBIT-SHAPIRO) 不等式。

经过许多数学家的研究，对于这个不等式的一般形式是否成立的问题，取得了圆满的成果。具体情况见本站内下面帖子：

《内斯比特 - 夏皮罗(NESBIT-SHAPIRO) 不等式简史》

kanyikan

漂亮的不等式，这里给出了25种证法。
http://blog.sina.com.cn/s/blog_1467208510102x776.html

天山草@

下面用排序不等式方法证明。

sdlijinghua

我的证明

liangchuxu

给出另类方法，凑热闹。