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试证:若向量叉乘 a×b+b×c+c×a=0 ,则三向量 a,b,c 共面

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发表于 2021-2-21 11:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
试证 a *b+b *a+ c*a=0, 则三向量a,b,c共面
发表于 2021-2-21 13:34 | 显示全部楼层
*----表示的向量的何种运算?
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发表于 2021-2-21 14:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-2-21 15:34 编辑

题:若向量a,b,c满足 a xb+b xa+ cxa=0, 则a,b,c共面 。

证:因a×b= -b×a.,故由a xb+b xa+ cxa=0,有 cxa=0,即sin<c,a>=0,或<c,a>=0,也就是

c与a共线,可表示为c=λa(λ是实数)。设a与b确定的平面为β,则c在β上。从而a,b,c共面 。
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发表于 2021-2-21 17:29 | 显示全部楼层
  试证:若向量叉乘 a×b + b×c + c×a = 0 ,则三向量 a,b,c 共面。

  对等式 0 = a×b + b×c + c×a 两边同时点乘向量 c ,则有

0 = 0·c = (a×b)·c + (b×c)·c + (c×a)·c

         = (a×b)·c + b·(c×c) - (a×c)·c

         = (a×b)·c + b·0 - a·(c×c)

         = (a×b)·c + b·0 - a·0

         = (a×b)·c + 0 - 0

         = (a×b)·c 。

因为 (a×b)·c = 0 ,所以三向量 a,b,c 共面。
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