给定 ΔABC，用直尺和圆规在 AB 上作一点 K，在 BC 上作一点 M，使 AK=KM=MC

elim

谢谢ccmmjj 的评注．此题无解的情况似乎被忽视了．

doletotodole

elim 发表于 2021-2-19 22:45
谢谢ccmmjj 的评注．此题无解的情况似乎被忽视了．

e老师厉害, 学习了.

王守恩

elim 发表于 2021-2-19 16:57
王守恩老师看看楼上的证明题？

倒过来想，就简单了。
已知三角形CKM,作三角形CAB，三步：
1，丈量KM,
2，在CK延长线上作KA=KM
3，在CM延长线上作MB=MK
主帖就是倒过来：按3,2,1找答案。
据此，好像不存在无解的情况。
我是在找用方程的通解公式

ccmmjj

elim 发表于 2021-2-19 14:45
谢谢ccmmjj 的评注．此题无解的情况似乎被忽视了．

如果规定两点必须在边上，就有你所说的无解的状况。但如果允许一点在短边的延长线上，限制条件是不必要的。
如下图：AB>2AC,作出三条红色的边相等。

elim

当然，如果点可以跑到三角形之外，那么尺规方法不变还是可以得到解。
希尔伯特把欧氏几何公理搞得非常复杂，主要是严格化这类顺序问题

王守恩

蛮好玩的！ (1楼的图)

给定 ΔABC，用直尺和圆规在 AB 上作一点 K，在 BC 上作一点 M，使 AK=KM=MC

当 ∠ABC=60 时，试证：只要 ∠MAC=30，MC 就是要找的答案。

王守恩

蛮好玩的！ (1楼的图)
给定 ΔABC，用直尺和圆规在 AB 上作一点 K，在 BC 上作一点 M，使 AK=KM=MC
当 ∠ABC=60 时，试证：只要 ∠MAC=30，MC 就是要找的答案。

证：连接 AM,CK，记交点为 P ,记 ∠BKM=2a ,记 ∠BMK=2c ,
\(a+c=60,\sin(60+a)=\sin(60+c)\)   我们恒有：
\(1=\frac{\sin∠PKM\sin∠PAK\sin∠PCA\sin∠PMC}{\sin∠PKA\sin∠PAC\sin∠PCM\sin∠PMK}=\frac{\sin(c)\sin(a)\sin(60-x)\sin(60+a)}{\sin(60+c)\sin(x)\sin(c)\sin(a)}\)
\(=\frac{\sin(60-x)\sin(60+a)}{\sin(60+c)\sin(x)}=\frac{\sin(60-x)}{\sin(x)}\ \ 即：1=\frac{\sin(60-x)}{\sin(x)}\ \ \ \ x=30\)
兼得：\(=\frac{MC}{AC}=\frac{\sin(30)}{\sin(60+a)}=\frac{\sin(30)}{\sin(60+c)}\)
注意：三角形 KMA,KMC,PAC 都是等腰三角形。
当然， ∠ABC=60 可改 ∠ABC=2b

elim

王守恩 发表于 2021-2-19 16:58
倒过来想，就简单了。
已知三角形CKM,作三角形CAB，三步：
1，丈量KM,

M未必在BC内．证明这点不难，但不比原问题更简单．