|
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-23 12:24 编辑
蛮好玩的! (1楼的图)
给定 ΔABC,用直尺和圆规在 AB 上作一点 K,在 BC 上作一点 M,使 AK=KM=MC
当 ∠ABC=60 时,试证:只要 ∠MAC=30,MC 就是要找的答案。
证:连接 AM,CK,记交点为 P ,记 ∠BKM=2a ,记 ∠BMK=2c ,
\(a+c=60,\sin(60+a)=\sin(60+c)\) 我们恒有:
\(1=\frac{\sin∠PKM\sin∠PAK\sin∠PCA\sin∠PMC}{\sin∠PKA\sin∠PAC\sin∠PCM\sin∠PMK}=\frac{\sin(c)\sin(a)\sin(60-x)\sin(60+a)}{\sin(60+c)\sin(x)\sin(c)\sin(a)}\)
\(=\frac{\sin(60-x)\sin(60+a)}{\sin(60+c)\sin(x)}=\frac{\sin(60-x)}{\sin(x)}\ \ 即:1=\frac{\sin(60-x)}{\sin(x)}\ \ \ \ x=30\)
兼得:\(=\frac{MC}{AC}=\frac{\sin(30)}{\sin(60+a)}=\frac{\sin(30)}{\sin(60+c)}\)
注意:三角形 KMA,KMC,PAC 都是等腰三角形。
当然, ∠ABC=60 可改 ∠ABC=2b |
|