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给定 ΔABC,用直尺和圆规在 AB 上作一点 K,在 BC 上作一点 M,使 AK=KM=MC

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发表于 2021-2-13 23:28 | 显示全部楼层 |阅读模式


给定一个 △ABC 如上图,用直尺和圆规在 AB 上作一点 K,在 BC 上作一点 M,使 AK = KM = MC。


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 楼主| 发表于 2021-2-13 23:32 | 显示全部楼层
题目来源: 据说上世纪七八十年代,莫斯科大学的数学系的入学考试【类似于中国的高考】针对犹太学生要专门做加试题。加试题共有21道,上面这个是第 3 题。
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发表于 2021-2-14 01:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 doletotodole 于 2021-2-14 01:39 编辑

KM中垂线, 构造30度直角三角形, i.e K点做直径KM的圆, 相交中垂线.
但是如何找到这K点, 还要想想.

有意思这题目.
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发表于 2021-2-15 10:05 | 显示全部楼层
好题!刚找到感觉.... 顶一下
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发表于 2021-2-15 11:51 | 显示全部楼层
利用位似变换作图吧!

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謝謝老師  发表于 2021-2-16 12:43
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发表于 2021-2-15 11:58 | 显示全部楼层
1、分别以点A、C为圆心作半径为1的圆;圆C与边BC的交点为P,过P作AC的平行线;
2、圆A与AB边的交点为K',以点K'为圆心作半径为1的圆,该圆与平行线交于点M';
3、作直线AM',该直线与边BC交于点M;
4、以点A为圆心,线段MC的长为半径作圆,该圆与AB边交于点K.
注:①本题实质是作路径AK'M'C'的位似图形而已;②在直线AC下方尚有一解。
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发表于 2021-2-15 12:10 | 显示全部楼层
这样就全面了。

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謝謝老師  发表于 2021-2-16 12:44
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发表于 2021-2-15 22:51 | 显示全部楼层


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可以取消 ED,K 在 AM 垂直平分线上。  发表于 2021-2-16 15:38
謝謝老師  发表于 2021-2-16 12:43
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发表于 2021-2-16 00:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2021-2-15 09:42 编辑

陆老师的这个解法很精彩!
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发表于 2021-2-16 09:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-16 09:11 编辑


整理一下。
\(\frac{BC}{BE}=\frac{MC}{MA}\ \ \ \frac{BD}{BE}=\frac{MK}{MA}\ \ \ \frac{ED}{EB}=\frac{AK}{AM}\)
\(因为\ \ BC=BD=ED=半径\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ BE=BE=EB\)
\(\ \ \ \ \ \ \ MA=MA=AM\)
\(所以\ MC=MK=AK\)

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整理的好!  发表于 2021-2-16 10:47
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