计算极限 lim(n→∞)n∫(0,1)x^n／(1+x^n) dx

永远

\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\int_0^1 {\frac{{{x^n}}}{{1 + {x^n}}}} dx\)

永远

luyuanhong

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xuke

不清楚下面的写法是否正确，还望指教

首先有
\[n\int_0^1{\frac{x^n}{1+x^n}\text{d}x}=\int_0^1{\frac{nx^{n-1}\cdot x}{1+x^n}\text{d}x}
\\
=\int_0^1{\frac{x}{1+x^n}\text{d}\left( 1+x^n \right)}=\int_0^1{x\text{d}\ln \left( 1+x^n \right)}
\\
=x\ln \left( 1+x^n \right) \mid_{0}^{1}-\int_0^1{\ln \left( 1+x^n \right) \text{d}x}
\\
=\ln 2-\int_0^1{\ln \left( 1+x^n \right) \text{d}x}\]
对\(\forall c\in \left( 0,1 \right) \)，有
\[0\leqslant \int_0^1{\ln \left( 1+x^n \right) \text{d}x}=\int_0^c{\ln \left( 1+x^n \right) \text{d}x}+\int_c^1{\ln \left( 1+x^n \right) \text{d}x}
\\
\leqslant \int_0^c{\ln \left( 1+c^n \right) \text{d}x}+\int_c^1{\ln \left( 1+1 \right) \text{d}x}
\\
=c\ln \left( 1+c^n \right) +\left( 1-c \right) \ln 2\rightarrow \left( 1-c \right) \ln 2,\left( n\rightarrow \infty \right) \]
为保证上式对\(\forall c\in \left( 0,1 \right) \)恒成立，则应该有
\[\int_0^1{\ln \left( 1+x^n \right) \text{d}x}\leqslant \left[ \left( 1-c \right) \ln 2 \right] _{\min}=0\]
由夹逼准则可知
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^1{\ln \left( 1+x^n \right) \text{d}x}=0\]
所以有
\[\lim_{n\rightarrow \infty} n\int_0^1{\frac{x^n}{1+x^n}\text{d}x}=\ln 2-\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^1{\ln \left( 1+x^n \right) \text{d}x}=\ln 2\]

elim

elim

罗嗦两句，\(\forall a>0,\;a^{1/n}\to 1\,(n\to\infty)\).
极限顺序\(\displaystyle\lim_{a\to 0^+}\lim_{n\to\infty}a^{1/n}\ln\frac{2}{1+a}\)不可换好得很。

luyuanhong

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elim

四楼 xuke 解的优化：
\(I_n:=\displaystyle\int_0^1{\small\frac{nx^n}{1+x^n}}dx=\int_0^1xd\ln(1+x^n)=\ln 2-\int_0^1\ln(1+x^n)dx\)
但\(\;\; 0\le\displaystyle{\small\int_0^1}\ln(1+x^n)dx\le{\small\int_0^1}x^ndx={\small\frac{1}{n+1}}.\;\;\therefore \;\lim_{n\to\infty}I_n=\ln 2.\)

luyuanhong

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