“数学的发展”与“人类的进步”这两个短语可以说是几乎等价的,在几千年的世界文明史中,数学发展与人类进步相辅相成,并肩而行。近一百年前,英国的数学家和哲学家怀特海 (Alfred North Whitehead,1861-1947) 在他的名著《科学与近代世界》(Science and the Modern World) 中特辟一章,专讲“作为人类思想史要素之一的数学”。在这章的一开头,他说:“纯数学这门学科在近代的发展,可以说是人类灵性最富于创造性的产物。”在所有其他的人类文明活动中,他认为只有音乐与数学同享如此崇高的地位。
的确,几百年来的近现代科学史,有多少科学大家吟诵过数学的赞美诗!实验科学的鼻祖、英国历史上两位伟大的“培根”中更早的那位罗杰·培根 (Rogers Bacon,1214-1293),直截了当地宣称:“所有科学都需要数学”。近代实验物理先驱、意大利人伽利略 (Galileo Galilei,1564-1642) 的名言“自然之书是用数学符号写的”,被本文作者之一放在了他的科普书《智者的困惑——混沌分形漫谈》(丁玖著,高等教育出版社,2013年)的扉页上。学过线性代数的大学生都知道“二次型惯性定理”,它的发现者、英国数学家西尔维斯特 (James Joseph Sylvester,1814-1897),当过律师,爱写诗歌,两度跨越大西洋帮助美利坚发展现代数学,唱出一曲“数学是理性的音乐”。
我们不需要再回放为数学歌功颂德的赞歌了。打开美国数学史家贝尔 (Temple Bell,1883-1960)的名著《数学大师:从芝诺到庞加莱》(Men of Mathematics),正文前的一系列“数学家语录”扑面而来,马上就会让你迫不及待地想读下去。是啊,数学的确是光芒四射,她既是科学的王后,又是骄傲的公主。数学如此富有魅力,谁不想爱戴她?数学又如此地位崇高,谁不想拥有她?但是无论在大学和中学的课堂里,还是在公司和车间里的黑板上,数学又如同冷艳的美女,常常拒人于千里之外;无论在教科书的页码中,还是在学术论文的字缝里,学习数学又像雾里观花,看不清楚也摸不着。放眼中国大地,应试教育的后果之一就是埋没了不知多少的数学天才;聆听上课铃声,十二年的初等教育还有巨大的改进空间。
资优的英文单词是“gifted”,是由名词“gift”转化而来的形容词。英文单词 gift 的意思是“礼物”,因此“资优”是来自父母基因最大的礼物,完全是上天的赐予。但是上天的礼物是有选择性的,100对父母中大概也只有5对收到礼物,生下了幸运之子,因而西方教育界人士觉得这份礼物来之不易,份量很重,切勿浪费,所以要好好利用,以求它的最大化效应。他们懂得,只要因势利导,这些极端聪明的孩子日后成为栋梁之才的概率就能大幅度提升。为达到这一目的,“资优生教育”作为大众教育的一个极其重要的部分,在西方备受重视。
笔者之一的任教大学有个名叫Lawrence Mead的物理教授,书教得特别棒,擅长解释新概念,拿过两次校级杰出教学奖,研究也做得不错,早期的一篇开创性论文直到现在还不时被引用,也和笔者之一合写过几篇文章。他一生的几个亮点之一就是指导了许多高中生做研究,写成文章,发表在有声誉的物理期刊上,如《数学物理杂志》(Journal of Mathematical Physics)。这些出类拔萃的高中生考上了很好的大学,有的后来当上了名校的物理教授。Mead教授几年前退休后,完全是兴趣使然,继续在家做理论物理和数学物理的研究,发表论文,无功利心地探索未知,已成习惯,这自然也会影响曾随他研习物理的那些高中生们。
在同一所大学的数学系,一位华人教授的儿子倪襄龙是按照美国资优生教育的道路成长的。在他刚进小学时,父母就细心地观察到,儿子具有很强的接受能力和自学能力,尤其拥有数学和物理细胞,于是就带他在“因材施教”的康庄大道上整装上路了。他进了斯坦福大学常年提供的“资优青少年教育计划 (Education Program for Gifted Youth) ”,这是专给高天赋学生设计的一套远程教育网上课程,内容丰富,教学方式不按部就班。他八岁学了初等代数和平面几何,九岁完成三角函数和微积分预科 (Pre-calculus),十岁时修了四门初等微积分课。那时他的正式身份是小学四年级学生,但是他却同时参加了全美的高中数学竞赛,并打入下一轮的美国数学邀请赛。从初二开始,他就没在他的学校修数学课,到了高中,他就干脆去了附近的大学修课,比如学习通常研究生才修读的《抽象代数》,考试成绩全班第一。更进一步,他跟随作为数学系教授的笔者之一做研究,探讨迭代对数函数的周期点问题,形成的研究论文发表在美国数学协会 (Mathematical Association of America) 旗下的《高校数学杂志》(The College Mathematics Journal) 上。他顺理成章地被麻省理工学院录取,进了数学系,2018年他大学毕业,去了加州大学伯克利校区数学系读博士学位,专攻代数拓扑,导师是位于伯克利的美国国家数学科学研究所所长 David Eisenbud 教授。
从小学到高中毕业,智商优良并有强烈爱好的学生,都可以申请参加许多大学提供的多学科资优生教育计划,尤其在暑假的那两个月。再拿斯坦福大学来说吧,它的“暑期高中生培训计划” (Stanford Pre-Collegiate Summer Institutes),对象是从14岁到17岁的高中生,集中住校三周,由本校教授和研究生课堂授课。2019年8-11年级的覆盖学科是:生物科学、商业、计算机科学、工程、数学、物理与地球科学、社会科学、写作与应用艺术。其中的数学课程有数论、逻辑与解题、纽结理论、离散数学、对称的数学、密码学。从名称中可见这些课程的内容基本上都是大学里的相关材料。此外,斯坦福大学还组织不同学科的夏令营,与数学有关的就有“斯坦福大学数学夏令营” (Stanford University Mathematics Camp)。它的对象是10和11年级的学生,面向全世界招生,用五周的时间强化高等数学的学习。还有一个常年运行的数学活动,叫做“斯坦福数学圈” (Stanford Math Circle)。每周数学爱好者在斯坦福校园内聚集一起,在数学家和教育家的指导下探讨数学。“斯坦福高中生在线大学程度数学与物理” (Stanford Pre-Collegiate University-Level Math & Physics) 则全年提供高中一般不开设的13门数学和物理高等课程。对于培养资优学生,斯坦福大学的确是不遗余力的。
美国其他地区的许多大学也提供了大同小异的资优生教育计划,如位于美国东南地区的杜克大学与南密西西比大学合作,每年联合举办“学术资优青少年暑期活动” (Academically Gifted Child Summer Programs),面向高中生,提供数学、心理学、演说与辩论、全球视野、天体物理、人类生物学等课程。南密西西比大学有本州最好最大的教育学院,资优生教育专家Frances A. Karnes于40年前创办了资优研究中心,现以她的名字命名 (Frances A. Karnes Center for Gifted Studies)。它是美国东南部的主要资优研究中心之一,Karnes教授著作等身,获奖无数,包括她的博士母校伊利诺伊大学颁发的杰出校友奖。