朱一心教授：数学的可视化直观

luyuanhong

朱一心教授：数学的可视化直观

演讲 | 朱一心（首都师范大学）
来源 | 数学爱好者俱乐部

2020年12月19日～20日，在美丽的海坨山谷，举办了首届“儿童数学教育论坛”，我们邀请到了数学教育界的大咖，有首师大北师大的重量级教授、北京各城区的数学教研员、北京有数学特色的名校校长、市区数学学科带头人、教研组长、骨干教师、数学创新思维专家等五十余人，大家将自己的科研课题研究成果、创新教学实践范例等倾囊互赠，共同为中小学数学教育献计献策。



以下为首师大朱一心教授的演讲《数学的可视化直观》，朱一心教授是首师大数学学院教授，博士生导师，北京数学会普及委员会主任，多年在数学爱好者俱乐部的高校大咖群里无私奉献，积极和群友互动交流，对“建造数学乐园”也充满热情，给予了我们很大的支持。



我来说说我们对数学的理解，至于怎么样做成一个可以让普通人都能接受的数学作品，刚才赵老师也讲了，我觉得今天第一次我脑子里可能还没有好的感觉，尽管我带着某种希望过来。一开始，我最早作的题目叫做《游戏当中的对称》，后来发现不行，游戏的对称，它涉及的概念稍微多一点，可能建华教授比我体会更多，我们俩都是搞群论的，赵学志教授也是搞群论的，如果我们要讲对称，讲到群论方面去了，今天第一场报告说起来就有点远。不行，不能这么讲，所以我还是改了，改成“可视”，我大概稍微用一点篇幅来讲一讲。

其实数学并不是大家习惯想的那样，仅仅是为了算点什么，考点什么，难倒学生点什么。它其实是我们人类的一种文化，是一种我们描述世界的办法，我们用这种办法来看待世界的一种手段，所有这些都是有数学大家们给我们指明的路，是我们一种精神创造的东西，这种创造是用来描述世界的，也就是我们用这种方式来理解世界，因此我们一定有某种方式让我们的数学变成是可理解的。



当然，有好多东西似乎是人造的，克罗内克说数学是人造出来，既然造出来我们就应该让他造得好玩些，有些地方应该能做的到。数学是一个既不是那么复杂，又不是那么简单，既不可爱又不讨厌的，所以大家要慢慢体会这种数学。



我们表述数学的方式，是文字、符号与图像，因此就有某种一定程度的直观，这个直观，实际上我们归根到底要把这种知识理解成一种我们可以了解的直观，这个直观来自于什么，刚才赵教授说的一句话，好像有点契合，我也想到了一些东西，就是我们的数学的直观要应该来自于图形啊表格啊公式等，还有一些我们是不太知道的，就是公众不太知道的“关系”与“程序”，既然讲关系与程序，就是说它有可操作性，是可实现的。那么如何作直观评价呢，真正的评价呢，就是方教授说的要有评价，评价在哪儿呢？



我想它应该是引起对数学某种知识和理论的联想、感悟。或是根据操作，我就体会到“哦！原来是这样的！我也同意了，唉，我理解了，你是这样说的！”，这就是评价标准，然而按照这个评价标准，多多少少不是每个人都能体会到的，那么我们需要做的事情，刚好刚才方教授说的这些，我脑子里也多少有一点，如果我们将来有一天有一个博物馆，一个数学乐园的话，大概除了我们传统以为的公式、图表等，比如说是一张照片配一段历史故事这种，这是我见过的，深圳的一个数学公园，包括江苏无锡的一个小学的数学公园，就都是桌子板凳上都有些公式，讲述名人故事等。除了这些以外，我相信还要有声像，像赵教授刚才说的图像啊，声像啊，这里面就必须要有物体对象，数学跟物理是分不开的，有运动的物体你才能有声像。包括赵教授说的落体实验，比如说最速降线。当然还要有操作体验，有些造型，比如说地标上有一个莫比乌斯带，又比如 《清明上河图》里边的无桥墩的桥。这就是我们现在中学实验室里面做的用几个筷子架成一个桥，看看这个筷子能搭多远的，跨度多大的桥能压多少力。这些东西我们都可以用造型来做，我们可以做一个地标，一个造型。包括七桥问题，也可以做一个小花园，里面有七桥问题，这种可以是地标造型。那么还有一些呢，可能是需要体验操作的。体验操作通常以为是做游戏，填一个数独，做个题，计算机上做个解答，这算是操作，但实际上可以有些体验性的操作。你要用能摸的，比如说克莱因瓶，你能不能让它有手感体验，能不能有可体验的最小曲面。我们搭的帐篷是不是个最小曲面，又比如使用肥皂泡组成的一个六边形曲面、要用拉桥钓起来的曲面等。这些东西，是我们建筑师、物理学与数学家共同的智慧可以做出来的。     



至于我刚才提到的直观的重要性，这是毫无疑问的，我们课标里头说的，其中这几条我们都可以在公园里做成数感，符号意识，空间观念，几何直观，这都可以在我们未来的主题公园设计里要考虑到。比如说我举个例子，数感，我们孩子们对数的感觉，包括我们普通人对数的感觉都不是很清晰的。比如说我们会场，我们今天如果随便抽一个人，问今天你扫一眼会场多少人？50个、80个，反正小于100，这个大概我们能做到。但是叫小朋友做到是不容易的。尤其是1000以上的，1万以上的，我可以保证我们对1万以上的数有感觉的人很少。我们一看整个人群人山人海，天安门广场上看多少人，1万还是2万？10万还是8万？一点感觉都没有，这种数感是不容易存在的，我们成年人都很难掌握。买房子几十万都出的很快，你看吧，被骗的都是几十万，不会被人骗100块钱。不可能，100块我太熟悉了，一骗就是几十万。我是当过财务处长的，那签字都是20万、30万、100万钱。最后100万是什么概念，没感觉了啊，买菜的时候却跟老太太挣一毛钱两毛钱，这是我们的习惯。所以这个数感怎么建立呢？我们可以在这个公园里设计，你看美国有一个事情就是把1万个轮胎堆成一个小山包。一年级，二年级，五年级，学生们去看这里多少轮胎，1万个这么多， 他才会感觉到什么叫1万，所以这是我们又便宜又能干的方法培育数感。刚说的这个是义务制课标，高中课标里面其实也有直观想象，所以我就觉得直观这件事情是非常重要的。有一点我要提醒的，我们数学家的直观跟普通人的直观略有差别，其实我们很难说清楚什么叫直观看到了，我们以为我们眼睛看到耳朵听到手摸到的东西就算直观。现在比如说嫦娥五号，月亮上带土壤回来，你算不算直观？你手肯定够不到啊，你眼睛肯定看不到啊，借助工具造成的直观算不算？所以直观这个概念其实挺复杂的。这就意味着直观是有层次的，你如果不知道一定的基础数学知识，你对数学没有任何概念，你就说我要直观地知道数学，对不起，还真就不好说。你要有一点抽象体会，比如说你从不吃辣椒的，我要让你描述一下川菜的感受，直观感受，对不起你真没感觉。所以这个直观不可能像大家想象着，一看就直观地知道是数学道理。所以多多少少要有抽象。



这样我来做一点点我理解的感觉，比如说假如我有一定的幽默感，我有一定的运算感，然后我来说说看，穿袜子叫A，穿鞋子叫B，你能不能得到A+B等于B+A呢？我们以为数的运算当然满足交换律呀，怎么可能没有这种感觉，但是你来试试看。然后你们要脱吧，脱袜子是-A，  脱鞋子叫-B，然后你说负的A加B，就是说我穿着鞋，穿着袜子，然后我要脱，你是怎么脱的？你看这些东西叫做运算的直观， 如果你没有一点数学知识的话，你要体会这里面一点也不幽默，有什么好看的，但是我们学数学的看了太有趣了是不是， 仔细想一想哈，那你家穿袜子穿鞋子倒过来试试看。我们家是先穿鞋子，再穿袜子，然后脱的时候呢，先脱袜子，再脱鞋子，你试试看， 做不了对吧，所以不交换。



下面的故事是早餐的故事，我早晨吃面包涂黄油，OK，我把这两个放在一起很好，面包和黄油再喝点牛奶，但是换一家是这么做的，我先吃面包，然后牛奶跟黄油掺在一起喝，我肚子不太好，我是喜欢喝杂粮稀饭的，喝这玩意肯定拉肚子。所以，教小学的老师不可以直接对小学生说，1+2 再加 3，跟 1+(2+3) 是一样的。我曾经遇到过小区里一个小朋友，小学数学他妈妈教的很好，100 以内加减法，甚至两位数的加法都行，然后炫耀嘛，你看我们家还是厉害吧，这个才四岁就会这些。另外一个小朋友家长就来问他了：“哎呀，宝宝你真厉害 ，那阿姨问你 1+1+1 等于多少？”不会，哭啦，为啥呢？他脑子里只有两个数相加，哪有 1+1+1，你 1+1+1 啥意思啊，妈妈就很纳闷，你这都不知道，就叫你 1+1，完了以后再加 1，这时小朋友才知道，被问倒了。也就说我们以为小朋友应该知道这些，其实还不是，这是要教的。



上图有很好的做法，这个做法说起来很简单，但是实际上弗罗宾纽斯反演就从这儿开始的，弗罗宾纽斯计数定理包括阿贝尔积分的分割求和方法也是从这开始做的，分组求和，这里有大数学。



再来看看上图这种公式的直观，这种公式我们完全可以做成草地面积，然后可以一起画，其实可以用色彩和立体，包括做平台可以做成这种风格，一个一个小的凳子的模块。比如说我们桌子就做成这样，然后叫小朋友来拼。最早的七巧板桌子是我们明朝就有的。这些都可以做，也包括这些典型的公式。我相信大家一眼就能看出来，这种公式的直观一眼就能看出来。



这张图稍微复杂一点，复杂一点的原因在于大方块分割以后，我这儿只是一种等积拼法，很显然还有另外的拼法。



上图其实还可以换一个拼法，利用平行的边，变成一个三角的拼法，就不是长方形了，就变成一个梯形。让小朋友拼这种东西大概还是有点操作性的，把它做好就行了。 要么做成大的板凳，要么做小的模块都是可以的。



这是奇数求和得平方数的公式，在草地上设计一些图案让小朋友看红的有多少个，画十字花的有多少个，数数看加起来是不是平方数。



接下来这是勾股定理的一个推广，就是平均不等式，这个平均不等式稍微有点黑幽默，是因为需要相似三角形，你才知道这个 AD 平方等于 xy 。AD 是半条弦，当然半条弦是小于半径的，所以半条弦的平方小于半径的平方是很显然的，前面 xy 等于 AD 平方，它是稍微要有点数学的，所以说这种直观没有一点数学是不可能感受到的。



这张图就比较直观，你看这一块三角形，因为等腰直角三角形，所以 b^2/2 就是面积，右边这块大一点就是 a^2/2 ，显然长方形的面积要比两个三角形的面积小，长方形的面积是 ab ，当然要小，这个就比上一个要更简单一些。



OK，这个叫三角函数和角公式，我们可以看到两个角的和，梯形斜边如果是1的话，其它几条边就可以通过三角函数来表达。最右侧两个式子加起来，整个这条虚线的长度是 sin(α+β) 等于最右侧实线长度。这就是可视化，这是发在美国数学杂志上的，这就是所谓的不需要文字证明的数学。



上图是勾股定理的造型，这个造型当然你可以做的更好看。 我想初中数学老师一定都知道，而且还做过，你只要有四五年级的水平就能看懂，而且会觉得还可以做得更多，因为我们完全可以做的更多。这个图形只要相似的，你可以做无数多的好玩的造型， 所以画一个圆也行，等腰三角形等边三角形，画一个正方形，画个梯形都可以。



这张图稍微复杂一点，五个圆 ，公式写在这里 ，可以看出某些图形面积是一样的，你怎么去体会出来呢， 比如右图你只要看看这整个大圆半径是小圆的半径的两倍，所以整个大圆的面积是四个小圆的面积，重复在哪儿？重复在 4 块 s，然后外边多四个 w，所以 w 和 s 的面积是一样的。这个稍微有一点点三年级左右的推理就可以了。



上图这个关系你看不懂？这是一个群的关系，我把他的运算元用点线给连接了。你必须要上到大学才能看懂，当然你简单一眼看不懂它的运算，你仍然会体会它的好看。



那么这是Q8，一个二元生成群的一个群关系，这种关系全是我自己画的，我是按照点线做运算，乘积做轨迹来做。第一个与第二个是一样的，只不过换了方式。



接下来看个更复杂一点的，是它的自同构群，它有三个正规子群，每个正规子群边上有三个共轭子群，这样画呢，还是不好看，那么我把它画成旋转型的，就好像看起来和艺术作品一样。再来我画成立体的，把它叠在一起。这些东西确实是好看，确实可以做得美感，然后让孩子们去逐渐根据我这里面标好的地图的所有运算去尝试，如果孩子们达到知道标记含义的这个程度，他愿意尝试，六年级以上就可以尝试。



看这个，是投影给我们造成了一种错觉，这个根本不可能存在。



这也是我们数学家画的一个不可能出现的图形。



而这是可能的，刚好我们可以在海坨盖盖这样的房子，游客一定就会想在这里打卡，他就觉得是房子歪了还是自己歪了？实际上也很可能路面是斜的而造成的照相效果。



再来看这个投影，这两个东西本身是一样的，如果我把底下的阴影去掉，这两个根本是一样，但是你看看它的效果，就是因为阴影给你一种投影的感觉。



这张图你仔细盯着看，看了以后你会发现什么呢，它有动的。这个跟数学没有太多关系，而是其实跟影像学跟我们的视觉有关系。



所以我们做一点这种光、速度，动感和数据等有关的东西，很有意思。所以我觉得不仅是数学，有点物理才行。  



好，回到数学，上边几张，现在看看这么多量放在一起是有震撼感的，我们还可以涂一点色彩，你不要觉得这个是数学呀，其实就是设计某些设施放在一起排列好就可以了，根本不要动脑筋，有些直观的美是由量造成的，并不需要动脑筋想原理，你只要有量就可以了。好像一个塔，我们可以建立一个塔，实际上你只要把这些公式写在墙上就可以了，这种东西呢，就是要靠设计加强感觉。比如说花坛，我们种些花草，实际上这些东西可以雕刻出来，正面雕刻，镂空雕刻 ，其实远远看视觉上看的是这个结果。里边实际上就是一个抽屉，就是一个台面，就是一个一个酒吧间上面的放酒的台子等等。



好啦，我就讲到这里，把时间留给别的老师。

王守恩

看图：三角函数和角公式图。还可以有
\(\ \ \ \ \ \ \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\)
(底边左下角虚线以外长度=底边长度-上边长度)