10000以内的质数个数计算方法88888

朱明君

[7],  19^2=361,    (361+1)/2-(59+23+13+7+4+2+1)=72个质数.                                       

        第1步，(361+1)/2=181个奇数,   为了计算简捷我们直接将奇数1改成质数2，
        第2步，(181-2)/3=59,  
        第3步，(181-8)/5=34,     {34+[(5-1)/2]-2}/3=11,   34-11=23,
        第4步，(181-18)/7=23,   {23+[(7-1)/2]-2}/3=8,  
                                                 {23+[(7-1)/2]-8}/5=3,   {3+[(5-1)]/2-2}/3=1,   (3-1)=2，
                                        23-8-2=13,                                                                                                                                   
        第5步，(181-50)/11=11, {11+[(11-1)/2]-2}/3=4,   {[(11+1)/2]-2}/3=1,   (4-1)=3，
                                                 {11+[(11-1)/2]-8}/5=1,
                                       11-3-1=7，
        第6步，(181-72)/13=8,   {8+[(13-1)/2]-2}/3=4,   {[(13+1)/2]-2}/3=1,   (4-1)=3，
                                                 {8+[(13-1)/2]-8}/5=1,  
                                        8-3-1=4
        第7步，(181-128)/17=3, {3+[(17-1)/2]-2}/3=3,   {[(17+1)/2]-2}/3=2,   (3-2)=1，
                                        3-1=2,
        第8步，(181-162)/19=1，

        181-59-23-13-7-4-2-1=72.

朱明君

[8],  23^2=529,    (529+1)/2-(87+34+19+11+7+5+2+1)=99个质数.                                       

        第1步，(529+1)/2=265个奇数,   为了计算简捷我们直接将奇数1改成质数2，
        第2步，(265-2)/3=87,  
        第3步，(265-8)/5=51,     {51+[(5-1)/2]-2}/3=17,   51-17=34,
        第4步，(265-18)/7=35,   {35+[(7-1)/2]-2}/3=12,  
                                                 {35+[(7-1)/2]-8}/5=6,   {6+[(5-1)/2]-2}/3=2,   (6-2)=4，                                      
                                       35-12-4=19,     
        第5步，(265-50)/11=19, {19+[(11-1)/2]-2}/3=7,   {[(11+1)/2]-2}/3=1,   (7-1)=6，
                                                 {19+[(11-1)/2]-8}/5=3,   {3+[(5-1)/2]-2}/3=1,   (3-1)=2，
                                       19-6-2=11，                                                                                                      
        第6步，(265-72)/13=14, {14+[(13-1)/2]-2}/3=6,   {[(13+1)/2]-2}/3=1,   (6-1)=5，
                                                 {14+[(13-1)/2]-8}/5=2,  
                                        14-5-2=7，
        第7步，(265-128)/17=8, {8+[(17-1)/2]-2}/3=4,   {[(17+1)/2]-2}/3=2,   (4-2)=2，
                                                 {8+[(17-1)/2]-8}/5=1,
                                        8-2-1=5,
        第8步，(265-162)/19=5, {5+[(19-1)/2]-2}/3=4,   {[(19+1)/2]-2}/3=2,   (4-2)=2，
                                                 {5+[(19-1)/2]-8}/5=1,
                                        5-2-1=2
        第9步，(265-242)/23=1,
                                                
        265-87-34-19-11-7-5-2-1=99.

朱明君

[9],  29^2=841,    (841+1)/2-(139+55+31+17+13+9+7+3+1)=146个质数.                                       

        第1步，(841+1)/2=421个奇数,   为了计算简捷我们直接将奇数1改成质数2，
        第2步，(421-2)/3=139,  
        第3步，(421-8)/5=82,     {82+[(5-1)/2]-2}/3=27,   82-27=55,
        第4步，(421-18)/7=57,   {57+[(7-1)/2]-2}/3=19,  
                                                 {57+[(7-1)/2]-8}/5=10,   {10+[(5-1)/2]-2}/3=3,   (10-3)=7，                                      
                                       57-19-7=31,     
        第5步，(421-50)/11=33, {33+[(11-1)/2]-2}/3=12,   {[(11+1)/2]-2}/3=1,   (12-1)=11，
                                                 {33+[(11-1)/2]-8}/5=6,     {6+[(5-1)/2]-2}/3=2,   (6-2)=4，
                                                 {33+[(11-1)/2]-18}/7=2,   {2+[(7-1)/2]-2}/3=1,   (2-1)=1，
                                       33-11-4-1=17，                                                                                                      
        第6步，(421-72)/13=26, {26+[(13-1)/2]-2}/3=10,   {[(13+1)/2]-2}/3=1,   (10-1)=9，
                                                 {26+[(13-1)/2]-8}/5=4,     {4+[(5-1)/2]-2}/3=1,   (4-1)=3，
                                                 {26+[(13-1)/2]-18}/7=2,   {2+[(7-1)/2]-2}/3=1,   (2-1)=1，
                                        26-9-3-1=13，
        第7步，(421-128)/17=17, {17+[(17-1)/2]-2}/3=7,   {[(17+1)/2]-2}/3=2,   (7-2)=5，
                                                   {17+[(17-1)/2]-8}/5=3,   {3+[(5-1)/2]-2}/3=1,   (3-1)=2,
                                                   {17+[(17-1)/2]-18}/7=1,  
                                        17-5-2-1=9,
        第8步，(421-162)/19=13, {13+[(19-1)/2]-2}/3=6,   {[(19+1)/2]-2}/3=2,   (6-2)=4，
                                                   {13+[(19-1)/2]-8}/5=2,
                                        13-4-2=7,
        第9步，(421-242)/23=7,   {7+[(23-1)/2]-2}/3=5,      {[(23+1)/2]-2}/3=3,   (5-3)=2，
                                                   {7+[(23-1)/2]-8}/5=2,  
                                        7-2-2=3,   
        第10步, (421-392)/29=1,  
                                                
        421-139-55-31-17-13-9-7-3-1=146.

朱明君

[10],  31^2=961,    (961+1)/2-(159+63+36+19+16+10+8+5+2+1)=162个质数.                                       

        第1步，(961+1)/2=481个奇数,   为了计算简捷我们直接将奇数1改成质数2，
        第2步，(481-2)/3=159,  
        第3步，(481-8)/5=94,     {94+[(5-1)/2]-2}/3=31,   94-31=63,
        第4步，(481-18)/7=66,   {66+[(7-1)/2]-2}/3=22,  
                                                 {66+[(7-1)/2]-8}/5=12,   {12+[(5-1)/2]-2}/3=4,   (12-4)=8，                                      
                                       66-22-8=36,     
        第5步，(481-50)/11=39, {39+[(11-1)/2]-2}/3=14,   {[(11+1)/2]-2}/3=1,   (14-1)=13，
                                                 {39+[(11-1)/2]-8}/5=7,     {7+[(5-1)/2]-2}/3=2,   (7-2)=5，
                                                 {39+[(11-1)/2]-18}/7=3,   {3+[(7-1)/2]-2}/3=1,   (3-1)=2，
                                       39-13-5-2=19，                                                                                                      
        第6步，(481-72)/13=31, {31+[(13-1)/2]-2}/3=11,   {[(13+1)/2]-2}/3=1,   (11-1)=10，
                                                 {31+[(13-1)/2]-8}/5=5,     {5+[(5-1)/2]-2}/3=1,   (5-1)=4，
                                                 {31+[(13-1)/2]-18}/7=2,   {2+[(7-1)/2]-2}/3=1,   (2-1)=1，
                                        31-10-4-1=16，
        第7步，(481-128)/17=20, {20+[(17-1)/2]-2}/3=8,   {[(17+1)/2]-2}/3=2,   (8-2)=6，
                                                   {20+[(17-1)/2]-8}/5=4,   {4+[(5-1)/2]-2}/3=1,   (4-1)=3,
                                                   {20+[(17-1)/2]-18}/7=1,  
                                        20-6-3-1=10,
        第8步，(481-162)/19=16, {16+[(19-1)/2]-2}/3=7,   {[(19+1)/2]-2}/3=2,   (7-2)=5，
                                                   {16+[(19-1)/2]-8}/5=3,   {3+[(5-1)/2]-2}/3=1,   (3-1)=2，
                                                   {16+[(19-1)/2]-18}/7=1,
                                        16-5-2-1=8,
        第9步，(481-242)/23=10, {10+[(23-1)/2]-2}/3=6,   {[(23+1)/2]-2}/3=3,   (6-3)=3，
                                                   {10+[(23-1)/2]-8}/5=2,   
                                        10-3-2=5,   
        第10步, (481-392)/29=3,   {3+[(29-1)/2]-2}/3=5,      {[(29+1)/2]-2}/3=4,   (5-4)=1，
                                                   {3+[(29-1)/2]-8}/5=1,      {[(29+1)/2]-8}/5=1,   (1-1)=0，                                                  
                                      3-1-0=2，
        第11步, (481-450)/31=1,
        481-159-63-36-19-16-10-8-5-2-1=162.

任在深

朱明君 发表于 2021-1-28 11:15
质数的个数计算方法

老牛拉破车的方法！
而且是倒着拉！！

重生888@

朱明君 发表于 2021-2-8 18:58
质数的个数计算方法

先生不足70岁，上了70岁就没这个精神了！

wlc1

研究哥猜不分年龄，但朱老已解决了质数的个数计算方法，接下来研究孪生素数对的计算方法。祝你成功！！

朱明君

接下来研究孪生质数对的计算方法
6x-1，6x+1。
(12-1)+30x，(12+1)+30x。
(18-1)+30x，(18+1)+30x。
(30-1)+30x，(30+1)+30x。

愚工688

对素数的数量的总计，有计数的方法与计算的方法。
计数的方法是一个个的计数，总数得到没有误差的总计值；
而计算的方法则是依据一个计算式，得出的计算值，一般都是有一些误差的。
埃氏筛法则是目前应用最广泛的一个统计素数数量的方法：x内不能被小于√x的素数整除的数即为素数；
实际上，这个方法是建立在不能被小于√x的素数整除的一步步的计数上面的，因此实际上产生的合计方法就是计数的方法，没有误差的计数方法。
它是由两个部分组成：
1，不能被小于√x的素数整除的素数的合计部分；
2，小于√x的素数部分；（即组成筛子的素数）

楼主的所谓的10000以内的质数个数计算方法 实际上不能算是计算方法，而只是一个计数方法。两者的概念不同的。

in [2, 100000 ]:   π(X)= 9592  ；
in [2, 1000000 ]:  π(X)= 78498  ；
in [2, 2000000 ]:  π(X)= 148933 ；
in [2, 3000000 ]:  π(X)= 216816 ；
……
in [2, 10000000]:  π(X)= 664579 ；

都是同样的计数方法得到的结果。

那么什么是计算式得到的计算结果呢？
依据埃氏筛法的素数连乘式得出的计算值就是一个计算结果。当然它不是精确的，没有误差的，而是存在一定的误差的。
有谁能够真正的提出没有误差的一个范围内素数数量的计算式呢？目前还没有看到过。

依据埃氏筛法，在[2,B]内的全部B-1个整数中，素数的分布概率为：
P(k)=P(2·3·5·…·r)= P(2) ·P(3) ·…·P(r) =1/2×[(3-1)/3]×[(5-1)/5]×…×[(r-1)/r ]；
由此可得区间[2,B]内的全部素数的数量的概率计算式为：
Sp(B)=(B-r)·P(k)+k；
这里k表示小于等于根号b 的素数数量。

当然这个艾氏筛法的计算式，在一些区域的误差还是比较小的：
in [2, 10000 ]:   π(X)= 1229    Sp= 1228.05   Δ=-.001    p2= 1085.736   Δ2=-.117
in [2, 20000 ]:   π(X)= 2262    Sp= 2261.2    Δ= 0          p2= 2019.491   Δ2=-.107
in [2, 30000 ]:   π(X)= 3245    Sp= 3257.16   Δ= .004    p2= 2910.092   Δ2=-.103
in [2, 40000 ]:   π(X)= 4203    Sp= 4201.68   Δ= 0         p2= 3774.783   Δ2=-.102

p2——区间内的素数个数的素数定理计算值。（即函数π(x)。）
Δ2——高斯的素数定理计算得出素数个数与实际个数S的相对误差。

in [2, 50000 ]:   π(X)= 5133    Sp= 5194.82   Δ= .012    p2= 4621.167   Δ2=-.1

朱明君

愚工688 发表于 2021-2-20 06:54
对素数的数量的总计，有计数的方法与计算的方法。
计数的方法是一个个的计数，总数得到没有误差的总计值； ...

我的方法是，先计算出X以内的所有合数的个数Y，X-Y=质数的个数