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正七边形的边长与对角线的关系

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发表于 2020-12-1 12:14 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知:正七边形的边长为a,长、短对角线的长分别为m和n,求证:1/a=1/m+1/n.
发表于 2020-12-1 12:23 | 显示全部楼层
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子:



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发表于 2020-12-1 12:24 | 显示全部楼层
下面是网友 kanyikan 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子:

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 楼主| 发表于 2020-12-2 11:41 | 显示全部楼层
这个题40年前出现在一张油印纸上,已不大记得清楚了,这是试探几次后的复原。然后在网上查询,这几年也有这道题了,解法多种多样。下面给出另一种思路。
由余弦定理有a^2=x^2+x^2-2x^2cosθ,a^2=x^2+y^2-2xycosθ,a^2=y^2+a^2-2aycosθ,
所以,x+y=2xcosθ,y=2acosθ,即1/x+1/y=1/a.

点评

请问老师 x+y=2xcosθ这步是怎么得来的?  发表于 2020-12-3 22:55
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 楼主| 发表于 2020-12-4 08:04 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2020-12-2 11:41
这个题40年前出现在一张油印纸上,已不大记得清楚了,这是试探几次后的复原。然后在网上查询,这几年也有这 ...

由前两个式子相等约去x-y得到的。

点评

明白了,谢谢!  发表于 2020-12-4 08:32
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发表于 2020-12-4 19:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-12-4 20:05 编辑

  已知:正七边形的边长为 a,短,长对角线的长分别为 n,m,求证:1/a=1/n+1/m.

  \(记\ a=\sin(\theta)\ \ \ n=\sin(2\theta)\ \ \ m=\sin(3\theta)=\sin(4\theta)\)

\(\frac{1}{a}=\frac{1}{\sin(\theta)}=\frac{2\cos(\theta)\sin(3\theta)}{\sin(2\theta)\sin(3\theta)}=\frac{2\cos(\frac{4\theta-2\theta}{2})\sin(\frac{4\theta+2\theta}{2})}{\sin(2\theta)\sin(3\theta)}\)

\(=\frac{\sin(2\theta)+\sin(4\theta)}{\sin(2\theta)\sin(4\theta)}=\frac{1}{\sin(2\theta)}+\frac{1}{\sin(4\theta)}=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\)

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发表于 2020-12-5 07:55 | 显示全部楼层
  已知:正七边形的边长为 a,短,长对角线的长分别为 n,m,求证:1/a=1/n+1/m.

  \(记\ a=\sin(\theta)=\sin(6\theta)\ \ n=\sin(2\theta)=\sin(5\theta)\ \ m=\sin(3\theta)=\sin(4\theta)\)

证一:
\(\frac{1}{\sin(2\theta)}+\frac{1}{\sin(3\theta)}=\frac{1}{\sin(\theta)}\)

\(\sin(4\theta)+\sin(2\theta)=\frac{\sin(2\theta)\sin(3\theta)}{\sin(\theta)}\)

\(2\cos(\theta)\sin(3\theta)=2\cos(\theta)\sin(3\theta)\)

证二:
\(\frac{1}{\sin(\theta)}-\frac{1}{\sin(3\theta)}=\frac{1}{\sin(2\theta)}\)

\(\sin(3\theta)-\sin(\theta)=\frac{\sin(\theta)\sin(4\theta)}{\sin(2\theta)}\)

\(2\cos(2\theta)\sin(\theta)=2\cos(2\theta)\sin(\theta)\)

证三:
\(\frac{1}{\sin(\theta)}-\frac{1}{\sin(2\theta)}=\frac{1}{\sin(3\theta)}\)

\(\sin(5\theta)-\sin(\theta)=\frac{\sin(6\theta)\sin(2\theta)}{\sin(3\theta)}\)

\(2\cos(3\theta)\sin(2\theta)=2\cos(3\theta)\sin(2\theta)\)


您敢继续往下走吗?
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发表于 2020-12-6 13:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-12-6 13:43 编辑
王守恩 发表于 2020-12-5 07:55
已知:正七边形的边长为 a,短,长对角线的长分别为 n,m,求证:1/a=1/n+1/m.

  \(记\ a=\sin(\theta)= ...

您敢继续往下走吗?
\(\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{8})}+\frac{1}{\sin(\frac{7\pi}{8})}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sin(\frac{3\pi}{8})}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sin(\frac{5\pi}{8})}\)
\(\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{10})}+\frac{1}{\sin(\frac{7\pi}{10})}=\frac{2}{\sin(\frac{3\pi}{10})}+\frac{2}{\sin(\frac{5\pi}{10})}\)
\(\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{12})}+\frac{1}{\sin(\frac{7\pi}{12})}=\frac{2}{\sin(\frac{3\pi}{12})}+\frac{2}{\sin(\frac{5\pi}{12})}\)
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