AB=BC，I为ΔABC内心，BM=MI，AP=3PC，H在PI上，MH⊥PH，Q为外接AB弧中点，证：QH⊥BH

Ysu2008

ataorj 发表于 2020-11-29 21:42
较完整的证明：
已知:点A,B,C在圆O上,BA=BC,K是AC中点,P是KC中点,CI平分∠BCA交圆O于Q,AI平分∠BAC交圆O于 ...

不用完整证明，太复杂了。
你就说说“P是 KC 中点”这个条件是如何利用的就可以了。

ataorj

这条件也很重要，你从这儿开始读：
由前文易知QM⊥MK,且CK⊥MK,则QM//CK,又PK=PC,则LM=LQ.

ataorj

备注：忘了说，BK交圆O于N；另外，不需要R，由对称点L还可知，QG=MI且∠GQM=∠QMI,则∠GQM=90°,则易知∠GBM也=90°,则BMQG为矩形.

Ysu2008

ataorj 发表于 2020-11-30 00:01
这条件也很重要，你从这儿开始读：
由前文易知QM⊥MK,且CK⊥MK,则QM//CK,又PK=PC,则LM=LQ.

“由前文易知QM⊥MK,且CK⊥MK,则QM//CK,又PK=PC,则LM=LQ.”

LM=LQ 是怎么得到的？根据什么定理？

ataorj

如果没直接定理，这可视为是简略了的，因为比较容易。因为平行所以内错角相等，所以三角形相似，所以，LI/PI=LM/PK=LQ/PC,则LM/LQ=PK/PC=1.
另外纠错，我说的“对称点L”不合适，应改为“对称中心L”，有“点对称”和“轴对称”概念，对应的概念是对称中心和对称轴，相对应点才称为对称点。

ataorj

更正了两处笔误:
1 又由于L为这两圆之间的中点且G在线段IG上,应是L在线段IG上
2 而又[见前文]∠QH'B=90°,则∠QH'M=90°,应是 则∠GH'M=90°

Ysu2008

以下是我的证明，证明比较冗长，拆分为几个部分。

先证一个预备定理：





下面是主流程：

denglongshan

证明：假设A、B是两点，P是直线外一点，P在AB直线的垂足H可以表示为：
\(h=\frac{1}{2}[h+\frac{p(a-b)}{\bar {a}-\bar{b}}+\frac{\bar {a}b-a\bar {b}}{\bar {a}-\bar{b}}\)],具体推导参考链接中的国际学术会议论文。
把△ABC的外接圆看作单位圆，且B在实轴上，易得：
\(b=1,a=\bar{c}=q^2，c=\bar{a}=\frac{1}{q^2}\)，\(f=\frac{1}{4}(q^2+\frac{3}{q^2}),\bar{f}=\frac{1}{4}(3q^2+\frac{1}{q^2}),i=\bar{i}=q+\frac{1}{q}-1,m=\bar{m}=\frac{1}{2}(q+\frac{1}{q})\)
Mathematica计算得：
\(h=\frac{2q^2-q+1}{3q-1}\)
所以：\(h-q=\frac{1-q^2}{3q-1}，h-b=\frac{2(q-1)^2}{3q-1}\),\(\frac{h-q}{h-b}=\frac{1+q}{2(1-q)}\)
结论是显然的，以上系列表达式简单变形后可以得到对应的结论 ，图中用红色标记。