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笔者还考虑了y=sinx的函数的图形做法。从中学数学已经知道,这个函数在0,π/4, π/2,, π处的函数值,但仅有这三个数还无法画出这个连续函数的图形,还需要使用高等数学中对函数增减,凹凸的研究,还需要使用这个函数的无穷级数表达式计算其它处的函数值,但使用无穷级数计算函数值时,根据无穷级数和的定义,又需要计算其前n项数列的无穷数列的趋向性极限值;对无穷序列又必须知道“它们既具有无限延续下去的性质,又具有永远延续不到底的性质”;这两个性质都是事实,两者之间相互依赖、相互斗争才使数学有了生命。自从笔者1962年对微积分、几何基础、无穷集合提出问题后,经过对罗素悖论《数学:确定性的丧失》《非标准分析》ZFC形式语言公理集合论、三次数学危机的许多数学著作的六十多年学习研究,最后看到毛泽东《矛盾论》中“高等数学的主要基础之一就是矛盾……”、“就是初等数学也充满着矛盾……”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争,决定一切事物的生命,推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的,没有矛盾就没有世界”论述。根据这些论述,笔者最后提出:数学理论是描述与研究现实数量大小及其关系的科学;实践不仅是数学理论的基础,而且还是检验数学理论的最终标准;数学理论的阐述,不能单靠形式逻辑,还需要使用:理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法进行。恩格斯的“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果,但他们……。他们忘掉了:全部所谓纯粹数学都是研究抽象的,它的一切数量严格说来都是想象的数量,一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的,……,而只能从现实中来说明,……。而这样一来,问题就说明了[5]”的论述应当被尊重。 |
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