一道简单的题

费尔马1

解不定方程(求正整数解):
x^2+y^3=z^4

费尔马1

其实，这个题还是比较简单的啊！没有系数，非常容易解的！

uk702

好题！用电脑算了一下 (x,y) 互素的解，经验证，x, y < 100000 时找到 4 组解。
(433, 143, 42)
(4785, 136, 71)
(6083, 23, 78)
(32507, 1026, 215)

费尔马1

非常感谢uk702老师关注并指点！
其实，这个题没有系数、次幂又低，很容易解的。最好是解出通解式。
再说了，这个不定方程含有二次幂，这样就有x、y、z互质的解存在，若三个指数都高于二次幂的话，就没有两两互质的解了！
老师您说是不是啊？(注:因为三个指数都高于二次，就是比尔猜想了)

uk702

费尔马1 发表于 2020-11-27 12:09
非常感谢uk702老师关注并指点！
其实，这个题没有系数、次幂又低，很容易解的。最好是解出通解式。
再说 ...

老师不敢当，不知您是否才是这方面的行家。我特意上网搜了一下，只搜到特定情形的部分解，没找到完整解是什么样的。
比如说，i, j 互素的情况下是否有无数解，我并没有答案。

费尔马1

这类题，若指数有平方，x、y、z互素有无穷多组解，，x、y、z不互素也有无穷多组解；
若指数都大于2，，则x、y、z互素，方程无解。(比尔猜想)
其实，解不定方程(求正整数解):
x^2+y^3=z^4，这个题的最小解是，
28^2+8^3=6^4

uk702

某些部分解。

uk702

有个牛人给出了最简单的证法证明它有无穷多个解。
经验证，(28,8,6) 是其中一个解，假设  (x, y, z) 是一个解，则 (2^6 x, 2^4 y, 2^3 z) 也是它的解。

费尔马1

uk702老师您好:7＃楼的解答已接近通解式(其中一类通解式)，但是，目前的答案还是不完整的。
那位曹老师说他彻底解决了丢番图方程，那么，学生我再出一题:
解不定方程(求正整数解):
①x^7+y^8=z^9
②x^3+y^5=z^35

uk702

费尔马1 发表于 2020-11-29 20:45
uk702老师您好:7＃楼的解答已接近通解式(其中一类通解式)，但是，目前的答案还是不完整的。
那位曹老师说 ...

我想您误会了，曹老师只是说某人解决了 x^3+y^3=2z^2 这个方程。
而且 #7 离最终答案还差得远呢，两个关键的问题没有解决，那就是：
1）求  x^3+y^3=2z^2  的所有整数解。
2）求 x^3+2y^3=z^2 的所有整数解。