施笃兹定理与公式的使用条件

elim

当分子的极限是无穷时，就吃狗屎作弊谎称其有限。这样就保证被人类数学抛弃的地位不动摇了，呵呵

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-3-30 09:56
“当分子极限是有限数K，分母极限是无穷大时，根据商的极限运算法则，分式的极限是0，不是你使用的施笃兹公 ...

jzkyllcjl先生：讨论数学不是泼妇骂街。请你仔细阅读337#【三、应用施笃兹定理必须分子分母同步实施求差变换】，再讨论下面用施笃兹定理求\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(\large n\over \large e^{Ln2n}\)的解法正确与否？
【解】:在\(\Large *\over \Large ∞\)型分式\(\large n\over \large e^{Ln2n}\)中，令\(\large x_n\)=\(\large n\);\(\large y_n\)=\(\large e^{Ln2n}\)；由指数函的性质知:1)数列{\(\large y_n\)}单调递增；2）\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(\large y_n\)=+∞；3)因为(\(\large x_{n+1}-x_n\))=\(\large 1\)；(\(\large y_{n+1}-y_n\))=\(\large 2\)，所以\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\({\large x_n\over \large y_n}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\({\Large x_{n+1}-x_n\over \Large y_{n+1}-y_n}\)=\(\Large 1\over \Large 2\)【解毕】
jzkyllcj l先生，你该不会认为该题的极限也是0吧？其实，本题在任何时候都有\(\large x_n\over \large y_n\)=\(\large n\over \large e^{ln2n}\)=\(n\over 2n\)=\(\large 1\over \large 2\)。所以，不管你的算法有多先进，只要算得极限值不是\(\large 1\over \large 2\)，那么你的算法一定是错误的。

jzkyllcjl

春风晚霞网友：第一， 你说的分式本来是二分之一。不需要使用施笃兹公式。第二，对于施笃兹公式适用时分子分母同步实施求差变换 的操作我没有反对过。但应用这个公式之前，需要检查分子与分母是不是满足都是无穷大的使用条件。

elim

jzkyllcjl 计算极限之前需要戒吃狗屎．

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-3-31 09:50
春风晚霞网友：第一， 你说的分式本来是二分之一。不需要使用施笃兹公式。第二，对于施笃兹公式适用时分子 ...

jzkyllcjl先生：是的，对于求解\(\Large *\over \Large   ∞\)型分式\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(\large n\over \large e^{Ln2n}\)的极限可以不用施笃兹定理求解，亦可算得该分式的值为\(\large 1\over \large 2\)。但对于\(\large *\over \large ∞\)型分式，更一般、更有效的方法还是用施篤兹公式求解。
第一、当原商的极限不易求得，而差商的极限客观存在。这时应用施笃兹定理求解则是最佳选择。
【倒1】已知\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(a_n\)=a，求\(\lim\limits_{n\to\infty} \)\(\large {a_1+2a_2+3a_3+…+na_n}\over \large n(n+1)\)=？
【解】在\(\large *\over \large ∞\)型分式\(\large {a_1+2a_2+3a_3+…+na_n}\over \large n(n+1)\)中令\(x_n\)=\( a_1+2a_2+3a_3+…+na_n\)；\(y_n\)=n(n+1)。因为①数列{\(y_n\)}单调递增；②\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(y_n\)=＋∞；③\(\lim\limits_{n\to\infty} \)\(\large x_n-x_{n-1}\over \large y_n-y_{n-1}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(\large {na_n}\over \large {2n}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(a_n \over 2\)=\(\Large a\over \Large 2\)，所以，\(\lim\limits_{n\to\infty} \)\(\large {a_1+2a_2+3a_3+…+na_n}\over \large n(n+1)\)=\(\Large a\over \Large 2\)【解毕】。
第二、施笃玆定理中的题设条件③是\(\large *\over \large ∞\)分式\(\large x_n\over \large y_n\)极限存在的充分而不必要条件。因此应用施笃兹定理时不需预判分子\(x_n\)是否趋向于无穷。
【例2】用施笃兹定理计算\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(\sum_{k=1}^n \sqrt k\over n(\sqrt n)\)=？
【解】在\(\large *\over \large ∞\)分式\(\sum_{k=1}^n \sqrt k\over n(\sqrt n)\)中，令\(x_n\)=\(\sum_{K=1}^n \sqrt K\)；\(y_n\)=\(n\sqrt n\)；则有①数列{\(y_n\)}单调递增；②\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n \)=+∞；③\(\lim\limits_{n\to\infty} \)\(\large x_n-x_{n-1}\over \large y_n-y_{n-1}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(\large \sqrt n\over \large \sqrt {n^3}-\sqrt {(n-1)^3}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty} \)\(\large n^2+\sqrt {n(n-1)^3}\over\large n^3-(n-1)^3\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(\large n^2+\sqrt {n(n-1)^3}\over \large 3n^2-3n+1\)=\(\large 2\over \large 3\)。所以\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(\sum_{k=1}^n \sqrt k\over \large n(\sqrt n)\)=\(\large 2\over \large 3\)【解毕】。
第三、当分母明显满足定理题设条件①、②时，对条件①、②的验证过程也可略去不写。
【例3】求\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\((n!)^{1\over n^2}\)
【解】\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\((n!)^{1\over n^2}\)=\(\Large e^{\lim\limits_{n\to\infty}{Ln(n!)\over n^2}}\)\(\underline{\underline {应用施笃兹(stolz)定理}} \)\(\Large e^{\lim\limits_{n\to\infty}{Ln(n!)-Ln(n-1)!\over n^2-(n-1)^2}}\)=\(\Large e^{\lim\limits_{n\to\infty}{Lnn\over 2n-1}}\)\(\underline{\underline {应用施笃兹(stolz)定理}}\)\(\Large e^{\lim\limits_{n\to\infty}{Lnn-Ln(n-1)\over (2n-1)-(2n-3)}}\)=\(\Large e^{\lim\limits_{n\to\infty}{Ln[1+1/(n-1)]\over 2}}\)=\(e^0\)=1。所以\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\((n!)^{1\over n^2}\)=1【解毕】

【小结】施笃玆定理是求解\(\large *\over \large ∞\)型分式极限最一般最有效的方法。应用施笃兹定理求解求解\(\large *\over \large ∞\)型分式极限时，应注意以下两点：①无需预判分子是否趋向于无穷。②每次应用施篤兹定理时，必须做到分子分母同步实施stodz变换（即分子分母同步求差）。

jzkyllcjl

春风晚霞：你的几个例子都是分子极限为无穷大的情形。对分子是有限的情形，根据商的极限运算法则，其极限就是0，使用施笃兹公式就得到elim的计算错误。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-4-1 21:37
春风晚霞：你的几个例子都是分子极限为无穷大的情形。对分子是有限的情形，根据商的极限运算法则，其极限就 ...

jzkyllcjl先生：因施笃兹法则是商的极限运算法则的拓展，特别是用它求解\(*\over ∞\)型分式的极限时其效果更加明显。所以，施笃兹定理对分子是有限的情形依然实用，这是因为施笃玆公式使用条件只有三个：1)数列{\(y_n\)}单调递增；2)\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n \)=+∞；3)\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\({x_n-x_{n-1}\over y_n-y_{n-1}}\)=L(L为定数或\(\pm\)∞)。在条件3)中：①当L=0时\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(x_n \over y_n\)=0；这时\(y_n\)是\(x_n\)的较高阶无穷大（此时当然包括你心心念念的\(x_n\)为有限数）；②当L为非0实数时，\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(x_n \over y_n\)=L；此时\(x_n\)与\(y_n\)是同阶无穷大；③当L=\(\pm\)∞时，\(x_n\)是较\(y_n\)的高阶无穷大。因为\(x_n\)与无穷大量\(y_n\)比较只有这三种情况，故此应用施笃兹定理计算\(*\over ∞\)型分式的极限不需预判分子*是否趋向于无穷。至于你说的elim先生地计算“错误”，那只能说明你根本就没有读懂施笃兹定理。jzkyllcjl先生，讨论数学可不是泼妇骂街，没有耍赖撒泼定能胜利之说！

elim

jzkyllcjl 算错极限是他江郎才尽和夜郎自大有机结合的必然结果．

jzkyllcjl

1楼指出elim 算错了他自己提出的A（n）的极限，。

elim

吃狗屎的 jzkyllcjl 算极限必错和歪曲Stolz 定理的行为，与它被人类数学抛弃是相互呼应的。