老题新贴: 设 a(1)=1, a(n+1)=ln(1+a(n)), 求 lim {n(na(n)-2)/ln(n)}

elim

这是一个老帖, 估计还对不少网友具有挑战性, 所以再次贴出, 希望引起热议:

题：设\(\,a_1=1,\;a_{n+1}=\ln(1+a_n),\,\)求\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n(na_n-2)}{\ln n}}\)

elim

永远看看能不能搞定这题?

永远

你以前分析的一大堆过程，全是专业术语，基本看不懂。陆老师的分析比较人性化，我发现e老师是欧美那边写作风格与我们这边不一样，还好用中文交流，如果全程英文交流尴尬加尴尬
数列的极限，这个一看就知道不好解的那种，需当花费点精力去分析

elim

这次跟我怎么解没有关系. 这么吧, 先证明 \(\{a_n\}\) 递减有下界.
由此进一步求\({\small\,A=}\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\)

elim

elim 发表于 2020-10-24 20:41
这次跟我怎么解没有关系. 这么吧, 先证明 \(\{a_n\}\) 递减有下界.
由此进一步求\({\small\,A=}\displayst ...

好吧, 什么是学习微积分的瓶颈? 我体会就是极限论, 甚至可以说就是极限的定义.
牢牢掌握基本的东西, 对进一步的学习至关重要. 否则你得到再人心化的帮助也没用.

由Taylor定理, \(a_{n+1}=\ln(1+a_n)=\frac{1}{1+\theta a_n}a_n < a_n\;(0<\theta <1)\)
\(\therefore\;\;\{a_n\}\)严格递减. 又因\(\,a_n>0\implies a_{n+1}=\ln(1+a_n)>\ln 1=0\)
\(\therefore\;\;\{a_n\}\)有下界\(0\). 据序列极限的单调有界定理(当时觉着是废话),
所论序列收敛, 记其极限为\(A,\,\)则由对数函数的连续性,\(0\le A=\ln(1+A).\)
但(如上已知)\({\small A>0\implies\ln(1+A)< A.}\;\;\therefore\;\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.\)

\((0)\quad a_0>0,\;\;a_{n+1}=\ln(1+a_n)\;(n\in\mathbb{N})\).
\((1)\quad a_0>a_1>\cdots>a_{n-1}>a_n\to 0\;(n\to\infty)\).

请永远人性化一下以上的分析.

进一步的任务是求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} na_n.\)  (提示: 运用 Stolz 定理)

doletotodole

这个泰勒引理没看懂, 感觉没学过, 晕.

elim

此题的难在没法得到\(\,a_n\,\)的通项公式. Mathematica 似乎对此无招.
数值计算更是把人逼疯,但数学分析(数学本科一年级)的知识就应该
能解此题:
Stolz定理 若\(\{b_n\}\)严格单调趋于无穷,\(\{{\large\frac{c_{n+1}-c_n}{b_{n+1}-b_n}}\}\)趋于\(\small L\)(实数或无穷),
\(\qquad\)则\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\frac{c_n}{b_n}=L.\)
\(\qquad\)令\(\,c_n=n,\,b_n=a_n^{-1}\;\;(na_n=\frac{c_n}{b_n})\)则
\(\qquad{\large\frac{c_{n+1}-c_n}{b_{n+1}-b_n}}={\large\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}}={\large\frac{a_n\ln(1+a_n)}{a_n-\ln(1+a_n)}}\small=2+\frac{1}{3}a_n+{\scriptsize O(a_n^2)}\,\overset{n\to\infty}{_\longrightarrow}\, 2.\)
\(\therefore\quad\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=2.\)
咋看起来 Stolz 定理的提出和使用有点奇葩,好像是把问题复杂化.
但上述分析表明它可以把问题转化为仅依赖于变量\(\,a_n\,\)的极限.于是
可利用\(\,\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)}\) 的Taylor展开得到所求极限.

elim

doletotodole 发表于 2020-10-26 08:23
这个泰勒引理没看懂, 感觉没学过, 晕.

\(\displaystyle f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\cdots+{\small\frac{f^{(n-1)}(c)}{(n-1)!}}(x-c)^{n-1}+{\small\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}}(x-c)^n\)
其中\(\xi\)是介于\(x,\,c\,\)之间的某个数. \(\small\,\xi=c+\theta(x-c)\)对某\(\small\,\theta\in(0,1)\)成立.
取\(\,f(x)=\ln(1+x),\,c=0,\,x=a_n\) 就有我要的不等式.

elim

doletotodole, 永远, 有没有问题? 欢迎指出错误

ccmmjj

很奇的操作。