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第一,根据《微积分学教程》》一卷一分册59-60 页 施笃茨 定理及其应用的理论,施篤兹(O.Stolz)定理中的公式的使用意义 是将∞/∞ 型的不定式Xn/ Yn, 替换它的差商表达式后去求极限。对于不定式na(n) 的极限计算,可以在你使用a(n+1)= a(n)-1/2 a^2(n)+1/3 a^3(n)+O(a^3(n)), 后,把n作为分子X(n),1/a(n)作为分母Y(n),应用施篤兹(O.Stolz)定理中的公式得到计算极限之前:将na(n) )替换为(2+1/3a(n)+O((a(n))^2) 后求极限的做法, 所以将这个替换代入A(n)的分子的后,就得到A(n)的分子的极限lim n(na(n)-2)=lim n(1/3a(n)+O((a(n))^2)=2/3.。 于是得到A(n)的极限为0,不是你算的2/3。
第二,你在51楼 倒数 第二行 使用 施篤兹(O.Stolz)定理中的公式的做法 违背了这个公式的 必须是∞/∞的不定式使用条件。 你必须实现研究n-2/a(n) 的极限 是不是无穷大。 你的错误就在这里。 这是我与你的根本分歧。
对于 你的做法,我已经给你提出过反例:|sin n| / ln n 的极限 是什么?
第三,根据根据你的计算 可以说(na(n)-2) 为无穷小,而且1/3a(n)也是无穷小.。但我根据第一,我已经得到 A(n)的极限为0, 所以,我不再讨论这两个无穷小是不是等价的问题。至于你提出的τ(n)=(na(n)-2)/a(n) 的极限问题,我是被动给出了研究,但根据第一也是不须要的。虽然 我使用第一中的 替换说过τ(n)的极限是1/3, 但这个计算不仅 没有使用无穷小是不是 等价的概念,而且笔者在科技论文在线2019年11月11日 以“一个值得讨论的极限没问题”指出了“ 使用施篤兹(O.Stolz)定理中的公式 会出现趋向极限方向的改变”,所以我不能根据那个替换讨论这两个无穷小是不是等价的问题。
第四, 笔者在科技论文在线2019年11月11日 以“一个值得讨论的极限没问题”讨论了 你的这个极限问题。 我说过“由于你使用了等式 ln(1+x)=x-1/2 x^2+1/3 x^3-……( -1<x<1 ) ,所以你的a(1)不能大于1, 我把a(1) 写作ln(1+0.5)”。我说过:你按照你的方法计算你的主贴是错误的,错误在于你证明τ(n)是无穷大.的结果 违背事实。事实是是:τ(n)是有界的。我讲过:, 对1到678000的自然数,na(n) 都小于2,因此,τ(1)=(a(1)-2)/a(1))<-3,τ(2)、τ(3)……τ(678000)都小于0.都是事实, 由此也可以得到对这些n,A(n为负数。这些数值计算都是研究这个极限问题的参考。
第五,你今年说过的τ(n)为无穷大:用到的 a(n)=2/n是错误的做法。 所以你给出的“自我检测题”我不做)。
第六,虽然τ(n)的极限是1/3的计算具有值得讨论妈的问题,但可以由此得到:当n充分大时,(na(n)-2)小于a(n) 的一倍,但根据你的τ(n)的极限为无穷大,得到的是当n充分大时,(na(n)-2)大于a(n) 的一万倍,这就矛盾了。矛盾的原因,在于你没有尊重使用Stolz 公式之前,必须证明A(n) 分子、分母的极限都是无穷大的不定式。
第七,根据数列的趋向性极限值具有数列达不到的性质,你给出的数列a(n)、A(n) 都具有算不到底的性质。其中A(n)只能从小于0的数值趋向于0.,因此,你的这个极限问题值得数学界深入研究。
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