四个半径等于 1 的小球两两相切，求包含它们的最小四面体和最小圆锥的几何数据

ccmmjj

四个半径等于1的小球两两相切（每个小球都与另三个相切），求包含它们的最小四面体和圆锥的几何数据（四面体的边长，圆锥的底面半径及高）。

波斯猫猫

思路：第1问，四个小球的球心确定一个棱长是2的正四面体，“下面”三个小球的三个球心和保证与四个小球相切（最小）的正四面体（E）“下面”的三个顶点是一个正三棱台的六个顶点，且上下两底面的距离是小球的半径1.我们的目的就是要求下底面的边长，即正四面体的棱长。根据对称性，该几何体的侧面与底面所成的角是正四面体E相邻两面所成角（由射影关系易知其余弦为1/3）的一半。这样，就容易解决问题了。第2问，有了第1问的提示，容易确定圆锥的半径，关键是确定母线与底面所成的角，仍然根据对称性，也是容易解决的（计算费时，略.）。

ccmmjj

第一问的解答（波斯猫的解答从略）

ccmmjj

关于第二问的解答：

ccmmjj

关于第一问曾经作为台湾的高考题，答案自然是无误的，至于第二问未见出处，想来我的答案也是无误的。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的帖子很好！已收藏。

ccmmjj

这是这题的出处截图。