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S 是数列 1,11,111,1111,… 的前 100 项之和,求 S 的末 10 位数的数字

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发表于 2020-9-30 15:09 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問數字問題

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发表于 2020-9-30 17:32 | 显示全部楼层
  S 是数列 1,11,111,1111,… 的前 100 项之和,求 S 的末 10 位数的数字。

  因为只要求 S 的末 10 位数字,所以只要考虑数列中各项数字的末 10 位就可以了。

    数列中的前 10 项都不超过 10 位,这 10 项之和为

    1+11+111+1111+11111+111111+1111111+11111111+111111111+1111111111=1234567900 。

    数列中后 90 项的末 10 位数都是 “1111111111” ,所以这 90 项的末 10 位之和为

        1111111111×90=99999999990=10000000000-10 。

    所以,数列中全部 100 项的末 10 位数之和为

        1234567900+10000000000-10=11234567890 。

    11234567890 已经超过了 10 位,所以要去掉最前面的“1”,剩下就是 S 的末 10 位数:

            1234567890 。

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謝謝陸老師  发表于 2020-9-30 20:09
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发表于 2020-10-1 15:46 | 显示全部楼层
陆老师解的真棒!
学生紧接着出题:
求数列 1,11,111,1111,… 的通项公式及前n项和Sn?
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发表于 2020-10-1 18:16 | 显示全部楼层
费尔马1 发表于 2020-10-1 15:46
陆老师解的真棒!
学生紧接着出题:
求数列 1,11,111,1111,… 的通项公式及前n项和Sn?



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謝謝陸老師  发表于 2020-10-3 15:09
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发表于 2020-10-3 19:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-3 19:56 编辑

采用“竖式加法”
\(000000000100\)个位数是1,100×1=100
\(000000000990\)十位数是1,99×10=990
\(000000009800\)百位数是1,98×100=9800
\(000000097000\)千位数是1,97×1000=97000
\(000000960000\)万位数是1,96×10000=960000
\(000009500000\)
\(000094000000\)
\(000930000000\)
\(009200000000\)
\(091000000000\)
\(900000000000\)
\(+________________\)
\(001234567890\)
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发表于 2020-10-4 08:15 | 显示全部楼层
楼上 王守恩 的解答也很好!已收藏。
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