永恒的哈代

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永恒的哈代

以下文章来源于图灵教育 ，作者王桥

控制论的创始人、美国数学家诺伯特·维纳曾经这样评价：从未有谁对数学的讲解能达到哈代那样一种明晰、充满趣味、富有智慧的境界。


20世纪分析数学的12座丰碑

法国数学家 Choimet 与 Queffélec 在其《20世纪分析数学的12座丰碑》一书，选用了英国数学家哈代与利特尔伍德的一幅合影作为封面。跻身于前苏联数学家盖尔芳德（Israel Gelfand）、美国数学家维纳（Norbort  Wiener）、沃尔夫（Thomas Wolff）、瑞典数学家卡尔松（Lennart Carleson）与霍曼德（Lars V. Hörmander）等一流分析数学大师中，而且被列为封面人物，对哈代而言可谓是实至名归。


罗素（Bertrand A. W. Russel，1872-1970）

公众心目中，可能最为世人称道的是哈代慧眼识珠、提携印度数学家拉马努金的传奇故事。几年前，英国还拍出了一部关于拉马努金的电影《知无涯者》。电影片头引用了罗素的一段话：

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supereme beauty.

公正地说，数学不单单拥有真理，还拥有非凡的美。



哈代曾写过一本流传甚广的小书，名为《一个数学家的辩白》。那本书里最打动人的一句话也是如此：

Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.

美是鉴别数学的第一标准。丑陋的数学不可能享有永久的席位。



数学美究竟是什么样的呢？几年前，阿蒂亚约人做了个试验，让一群人观摩一组数学公式，同时记录脑的磁共振成像，如此来评估人们对不同公式的美感反应。结果排名第一丑的却是拉马努金所发现的极为威猛的计算圆周率的无穷级数。真不知九泉下的哈代该做何想？拉马努金可算是哈代最欣赏的天才了。但“数学美”对芸芸众生往往只是贴上了高雅标签的谈资。若没有足够的理论素养，我们这些普通人其实很难理解数学里最深刻的美。



据说拉马努金创造出的这个计算圆周率的厉害的公式，竟然被评为最丑的数学公式。

若粗浅地领略哈代一派的数学风采，也许可以读读他的两本广为流传的教材，一本是《纯数学教程》，另一本是他和利特尔伍德、波利亚合著的《不等式》。当然，还少不了他最著名的小书《一个数学家的辩白》。哈代的这本《纯数学教程》和他作为英国分析数学事实上的旗手，其实大有说头。

英国是微积分的故乡，但伟大的牛顿赋予微积分的是自然哲学的灵魂。牛顿之后的英国以剑桥为中心，涌现出了一批杰出的自然哲学（数学物理学）学者，比如斯托克斯（Sir G. Stokes）、麦克斯韦（J. C. Maxwell）、汤姆逊（W. Thomson，即开尔文勋爵Baron Kelvin）、狄拉克（P. Dirac），还有2018年去世的霍金（S. Hawking）。然而，以自然哲学的理念支撑的数学物理学，在分析数学意义下的严密性总归是令人猜忌的。比如曾经轰动一时的围绕Riemann猜想的所谓阿蒂亚（Atiyah）证明，最终似乎草草了事。虽然事主是拿过菲尔兹数学奖的大学问家，可是在分析数学中诸如Riemann猜想这类顶级问题上，严密性决定成败。

历史上，英国数学家的总体水准向来超然于世。优秀的数学物理学的传承之外，英国还为19世纪奉献了矩阵、向量、四元数等。但在事关分析数学的严密性理论建树上（比如无穷级数收敛性、函数论等等），直到19世纪末，英国却没有出现令人刮目相看的分析数学的圣手。这与出现了柯西、维尔斯特拉斯的欧洲大陆反差巨大。或许，探索期的数学需要自然哲学的引领，但在经典物理学逐步成熟之际的19世纪末，数学和哲学的总体学术潮流步入了冷静的整理时段，分析精神引领了潮流。



可惜，19世纪末在欧洲大陆兴起的康托尔、戴德金等人的学问似乎并未流行于剑桥。剑桥的数学荣誉排名考试（Cambridge Mathematical Tripos），顽固地坚守着牛顿时代的传统，考题围绕着解决物理问题的数学技巧，却并不关注数学自身的严密性问题。对此等学术格调鄙视至极的罗素，在其唯一认可的数学老师怀德海的怂恿下，加入了剑桥著名的精英小群体“使徒社”（The Society of Apostles）。之后，罗素一发不可收地沉醉于柏拉图、休谟等人的著作。当然，聪明过人的他最终还是以第7名的成绩通过了 Tripos 考试。这之后就是大家熟知的罗素与老师怀德海折腾个半死搞出了极度考究逻辑的《数学原理》半成品。可惜，这部著作代表的观念被罗素的爱徒维特根斯坦鄙视得不轻，书最终也没能完成。那一时期几路参与数学基础大论战的豪杰，似乎彼此互不买账。而罗素与怀德海的大砖头，据说只有一个牛人哥德尔认真地读了。数学基础，逻辑学，这些恐怕都是超级烧脑的大学问。所幸的是，在精神世界之巅，总还有那么几个疯狂地追求逻辑、追求真理的求道派，担当起了理性的脊梁。凡夫俗子眼里，越是追求逻辑严密性，越是容易在精神上走极端。康托尔、罗素、维特根斯坦、哥德尔这群伟大的疯子们精神濒临崩溃的许多故事，绝非偶然。


剑桥使徒社

同在三一学院，哈代比罗素小了几岁。彼时他读到法国巴黎高工约旦（Jordan）的分析数学教程，内心震颤于欧洲大陆的严密风格，那种严密性恰好是当时英国传统里非常缺乏的。当然，与罗素关注数学自身的逻辑基础有所不同，哈代聚焦的是分析数学中具体的严密性问题。自1901年起，哈代就开始在数学分析领域持续发表水平不凡的论文。到1907年，以微积分和无穷级数为主旨的《纯数学教程》正式出版。自剑桥大学开始，英国各个大学的数学教学皆奉哈代的教材为至宝，纷纷更改了教学大纲。英国终于有了可以与欧陆媲美的严格讲解微积分的教材。此后，这本教程不断修订，到1943年已经出了第9版。如今这部《纯数学教程》早已成为世界各地学习微积分的标准参考书了。


维纳（Norbert Wiener，1894-1964）

为什么哈代的教材能够深入人心？因为哈代在数学上无与伦比的明晰、严谨但又保持了极好的可读性。自视甚高的美国数学家维纳，就曾对哈代赞不绝口：

In all my years of listening to lectures in mathematics,I have never heard the equal of Hardy for clarity, for interest, or for intellectual power. If I am to claim any man as my master in my mathematical thinking, it must be G.H. Hardy.

在我听过的所有数学讲座中，从未有谁对数学的讲解能达到哈代那样一种明晰、充满趣味、富有智慧的境界。如果要让我来确认谁是我数学思维的导师，那个人必然是哈代无疑。

年轻学者受到哈代指点的，其实还有不少例子。比如1930年代图灵在普林斯顿攻读博士学位时，恰好哈代与柯朗也在那里访问。图灵的数学也因此得到了哈代的教诲。其实图灵在计算机科学之外，还在演化动力学方程上做过漂亮的工作。而维纳对哈代的敬佩，更是事出有因。

维纳曾与剑桥学派的青年数学家帕雷（Raymond Paley）有过一段美妙的合作。坦率地说，在维纳多方面的学术成就中，最该令人刮目相看的一座高峰，就是在研究信号的滤波时，维纳与帕雷合作贡献出了令人惊叹的帕雷-维纳定理（Paley-Wiener Theorem）。这个深刻的定理，揭示了能量有限的信号，经过低通滤波之后，必然呈现出指数型整函数的结构，而且，反之亦然。在以往的信号处理教材里（比如希腊学者Papoulis的《信号分析》），这个深刻的定理一直就是必修内容，但在近年来一轮又一轮所谓数字化的时髦中，前辈学者创造出的不少精品因为太难而被当作垃圾扔到一旁。多少人神游在虚幻的数字域，却忘掉了物理信号的理论根基。如果我们去读这个定理冗长的论证，就会发现它综合了复变函数论与傅立叶分析里相当深刻的知识，一长串令人望而生畏的硬分析技巧。而这位帕雷，正是利特尔伍德在剑桥指导的研究生。不幸的是，受教于伊顿公学与剑桥、像其导师一样酷爱体育的健将帕雷，在加拿大班夫滑雪时遭遇雪崩，年仅26岁就英年早逝。假若没有这一场雪崩，帕雷很可能会是英国分析数学的一代旗手。据说，珍视人才的哈代，曾经哀叹帕雷与拉马努金的早逝。26岁本该是金色年华，这个年龄的牛顿已经是剑桥的教授，这个年纪的拉马努金才刚刚进入剑桥开始接受哈代严格的数学训练，但这个年龄已经初露锋芒的帕雷，却死于一场运动冒险带来的意外。

哈代既是一位成就斐然的数学家、也是一位天才的教师。其写作风格朴实但又十分明晰。其《纯数学教程》中的习题量相当大，而且多是从剑桥的荣誉数学等级考试（Tripos）中精选出来的，不同于一般教科书局限于纯技术性的思维体操式训练，哈代的教材对数学思维的考验无所不在。可以说，这本书其实是一位高明的分析学家对微积分入门者的一组综合训练。它既没有走到几十年后那种以软分析为标杆的宏大叙事框架、没有陷入繁琐的概念体系却难以学到解决具体问题的尴尬、没有摒弃英国数学物理优秀传统。比方说，在第9章杂例部分的第40题，给出了Napier计算对数的一个精妙的近似手法。从这一类习题看，完全不弱于俄罗斯流派强调的硬朗计算的训练。特别是，教材中许多地方都涉猎到函数或序列的振荡性这类非常重要的具体形态研究。对未来要进入信息或工业领域从事应用数学的学子，哈代的教材提供了绝佳的技术性训练指南。

这本《纯数学教程》在哈代自己手里持续经营了近40年，一版再版，却质朴如初。比如他没有引入“一致收敛”的概念，也没有把点集拓扑学放进去。哈代之用心，是在许许多多“看得见、摸得着”的具体的函数形态上或级数上，对级数求和、收敛性等等的精彩处理，读起来很充实，可以实实在在学到一手计算与分析的硬功夫。而这些功夫，虽比不上那些可以成为谈资的哲学化的名词，却是日常科研中最受用的手段。


维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889-1951）

当然另有高人未必对哈代的分析技巧着迷。据说维特根斯坦就研读过哈代的这本《纯数学教程》，而且听闻今年十月份，维特根斯坦关于哈代这本教程的读书笔记即将揭秘——书名正是《维特根斯坦关于哈代“纯数学教程”的笔记》。令人好奇的是，这位在《哲学研究》里很酷地写出“当我相信人有灵魂时，我相信的是什么”的维特根斯坦，会在哈代的教材上写出什么花儿。逻辑是理性最纯正的力量，特别是当它与计算关联起来的时候。相比起崇拜哥德尔的不完全性，芸芸众生似乎更愿意享受图灵带给我们的可计算性。


维特根斯坦阅读哈代《纯数学教程》的笔记研究

哈代的名字常常和剑桥联系在一起，不过他有十多年是在牛津做教授，他也曾在美国的普林斯顿大学教书。在上个世纪20年代末，哈代就已经把英国分析数学的水平整体地带入到前所未有的高度。在他自己掌控的伦敦数学会期刊上，来自全球的分析数学的高质量论文撑起了英国分析数学的一片繁荣景象。他和利特尔伍德培养出了一批才华出众的弟子。这些，或许是一个富有领导力的数学家才可能留给世界的数学景观。

剑桥和牛津这两个牛校在哈代心中孰轻孰重，旁人自然好奇。学术卓绝之外的牛剑之间，还有声名远扬的赛艇对抗赛。哈代是个超级板球迷，却短于赛艇。有人问哈代在玩体育时到底代表剑桥还是代表牛津，他答道：玩板球的时候是代表剑桥的，划赛艇的话就算是代表牛津了。看来，许多人喜欢把哈代和剑桥放在一起谈，还是合乎他心意的。

这个世界上，有这么一些聪慧又勤勉的学者，以学术为业，执念严格性、执念逻辑、执念真理。可以像罗素那样为了逻辑的使命开始书写内心的篇章，更能够在逻辑面前低下头来放弃行进中的著作。可以像哈代那样耐心地把一本教科书反反复复修订四十年。这样的学者，这样的名牌大学，或许是世人所景仰和怀念的。他们的人生，无论是跌宕的还是平静的，都完美地诠释了学术精神应该有的纯粹。

有许多值得一读的数学家，但我会永远偏爱哈代。曾经酷爱运动的哈代，在二战期间身体极度衰弱，数学创造才能也逐步消逝。正是在这悲怆的英雄情怀中，他写下了《一个数学家的辩白》。我喜欢他铿锵的字句：

The noblest ambition is that of leaving behind one something of permanent value......Ambition has been the driving force behind nearly all the best work of the world.

最崇高的雄心，就是留下一些永恒的价值......世界上几乎所有优秀成果背后的驱动力，几乎都是雄心壮志。

与其说这是一个数学家的辩白，莫如说：这是一个数学家的宣言。

永远

哈代，请问拉马努金呢

doletotodole

我唯一的印象是哈代想破解欧拉常数的奥秘, 但破解不了, 好像至今也没人可以破解.