数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 1419|回复: 4

x^2*(e^(-1/x^2)-1),当x趋于0的极限为什么是-1

[复制链接]
发表于 2020-9-19 04:45 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wufaxian 于 2020-9-19 04:49 编辑

题如下图:


里面的e函数展开后得到



1和括号里的-1抵消掉。括号外面的x平方乘进来就变成


可以看出后面的各个x项随着x趋于0会越变越大,第n项不等于0。因此级数是发散的。那么题目结果怎么会是:-1呢?


















本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
发表于 2020-9-19 07:15 | 显示全部楼层
在 e^x 的级数展开式 e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …… 中,用 -1/x^2 代入 x 的位置,就得到

e^(-1/x^2) = 1 + (-1/ x^2) + (-1/x^2)^2/2!  + (-1/x^2)^3/3!  + (-1/x^2)^4/4! + ……

              = 1 -  1/x^2 + 1/(2x^4) - 1/(6x^6)  + 1/(24x^8) - …… 。

再从上式减去 1 ,就得到

  e^(-1/x^2) - 1 = -  1/x^2 + 1/(2x^4) - 1/(6x^6)  + 1/(24x^8) - …… 。

再对上式乘以 x^2 ,就得到

x^2 [ e^(-1/x^2) - 1 ] = x^2 [ -  1/x^2 + 1/(2x^4) - 1/(6x^6)  + 1/(24x^8) - …… ]

       = -1 + 1/(2x^2) - 1/(6x^4) + 1/(24x^6) - …… 。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2020-9-19 08:12 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2020-9-19 07:15
在 e^x 的级数展开式 e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …… 中,用 -1/x^2 代入 x 的位置,就得到

e^(- ...

谢谢lu老师的回复。你算出的表达式和我计算出来的是一致的。但是和书上给出的答案不一样。书上给出的答案是-1。

    可是从最终表达式来看,应该是不等于 -1。 应该是负无穷吧。不知道是不是书中答案有问题?
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2020-9-19 12:27 | 显示全部楼层
如果书上给出求极限的结果是 -1 ,我估计是书上的题目不小心写错了。

正确的题目应该是求 x→∞ 的极限,书上错写成求 x→0 的极限了。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2020-9-19 17:16 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2020-9-19 12:27
如果书上给出求极限的结果是 -1 ,我估计是书上的题目不小心写错了。

正确的题目应该是求 x→∞ 的极限 ...

明白了,这样的就说的通了。谢谢lu老师
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-29 10:33 , Processed in 0.066406 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表