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走上复杂之路的三

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发表于 2020-7-17 10:28 | 显示全部楼层 |阅读模式
走上复杂之路的三

作者 | 刘瑞祥
来源 | 遇见数学

三,往往意味着多,比如“森”“众”都是三个同样部分组成的,代表树多、人多。不同于简单的 1 和 2,从 3 开始,很多事情就开始复杂了。本文只聊和 3 有关的数学。

一、没完没了的三角形

据说成书于公元前 3 世纪的《几何原本》第一卷的命题 1 就是关于三角形的——以已知线段为边长作正三角形。这个命题虽然简单,但实际上证明过程并不完备,因为其中少了连续性公理——你怎么知道图中的两个圆一定相交呢?


用直尺及圆规划出正三角形

这本经典著作还包含了关于三角形的大量内容,比如三角形的全等和相似判断命题、三角形内角和、勾股定理等等。而令人惊异的是,直到 20 世纪,还出现了新的关于三角形的定理,这就是莫莱定理:对任意三角形,其内角的三等分线交点构成等边三角形。在《几何明珠》(国家行政学院出版社 2014 年版)一书里,作者黄家礼提到了这个定理的推广,其中一部分内容是我国数学家张景中利用计算机发现的。



小小的三角形,能让人研究两千多年,到底是简单,还是复杂呢?

二、阿波罗尼奥斯问题

古希腊有一位重要的数学家,名字叫阿波罗尼奥斯,是研究圆锥曲线的集大成者。他提出过这样一个问题:任给三个点或者直线、圆,求作过已知点并和直线、圆相切的圆。根据所给条件的不同,这一问题可以分成十个具体问题,而每种问题里又根据所给元素位置的不同,分为若干小问题。这虽然是已经解决了的问题,但至今还是很吸引人,你能研究出其中哪几种情况?


左图为点点圆问题(CPP),右图为圆圆圆问题(CCC)的一个解

阿波罗尼奥斯问题提示我们,要想确定一个圆,一般应该给定三个独立条件,把原来的问题换一下已知条件,比如求作指定半径的圆且要求与给定的直线、圆相切,是不是容易很多?

三、三维空间

我们生活的这个空间就是所谓三维空间。我记忆中霍金的学生吴忠超曾经证明在某些条件下空间一定是三维的,但是现在这个内容却搜不到了,不知道是否记忆出了问题。下面我来谈几个我能说明白的问题吧。

所谓吴忠超的证明,其含义应该是证明我们的宇宙必须是三维空间,不能是其它维度,而《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》(伽利略著,上海外国自然科学哲学著作编译组译,上海人民出版社 1974 年版)中,先是通过辛普利邱之口介绍了亚里士多德的论述方法:不能比三度空间再多,因为“三”就是一切,是到处都有的。而且这一点不是也为毕达哥拉斯学派的学说和权威所证实了吗,因为这一派人说,一切事物都决定于三——即开端、中间、末尾——所以三是完整的数?还有,你为什么撇开亚里士多德的另一个理由不谈,即“三”这个数,就好像是由自然规律规定的那样,祭神时也用三牲?……因为只要立体是由三决定的,这就“全”备了;它能够从三个方面分开,也就能用一切可能的方式分开……

不知道读者看到上面这段论述会有什么感觉,反正我是觉得相当可笑。而书里伽利略的代言人萨尔维阿蒂的回答是:所有这些理由都说服不了我……我觉得没有必要承认三是个完善的数……

萨尔维阿蒂验证空间是三维的方法和现代人是差不多的,即只能做出三条互相垂直的直线段。就这样,亚里士多德的理论出现了一个小口子,而后文还会更多。



我们再看看推导棱锥体积公式的过程。这个过程大致是这样的:先是把高和底边相等的正三棱柱分解成三个全等的三棱锥,然后利用祖暅原理把得到的结果推广到一般的棱锥上。这里关键是第二步,因为祖暅原理归根结底是一种无限过程。而如果我们看《几何原本》就会发现,古希腊人也是用无限过程来研究棱锥体积的,这是为什么呢?你想不明白没关系,因为高斯也想不明白,至少在这个问题上你和高斯是同样级别的。这个问题最后是被希尔伯特的学生研究清楚的。

和三维空间有关的还有万有引力和库仑力公式。我们注意到,这两个公式都是所谓“平方反比率”,即它们都和距离的平方成反比。这说明了万有引力和静电力都是“有源力”,也就是说,这两种力都是从质点或者点电荷发出的。而电磁学中的高斯公式说,你随便画一个闭合曲面,静电场通过这个面的电力线和曲面内部静电荷的代数和成正比。这是平方反比律的直接推论。平方反比律在物理上很重要,关系到行星轨道是否稳定、真空中的光速是不是不变等问题。



四、关于三的其它问题

大家应该听说过关于三次方程解法的历史了吧。据说,复数的发明就是为了对付三次方程的,因为二次方程遇到复数结果可以舍去,而三次方程尽管中间过程需要复数,但最后的结果却可能都是实数。那么,在你已经知道存在三次方程求根公式、甚至脑子里还有点模糊印象的基础上,你能自己推导出三次方程求根公式吗?又或者,在你理解了三次方程的基础上,能不能证明尺规三等分任意角不可能呢?


▲ 初始位置在斜三角形顶点,且初始速度均为零的三个相同物体的近似轨迹。按照动量守恒定律,质心仍然存在。(图自维基)

再说说所谓的三体问题:如果有三个互相吸引的天体,能否给出一般情况下的解析解?可以证明这是不可能的。但是所谓“不可能”,是什么意思?这对我们的星系有什么影响?在量子力学里,同样有三体问题,比如氦原子里 两个电子和氦核,成为三体问题,无法得到解析解。印象中我大学时用的是“微扰法”,即把其中一个电子对另外一个电子的作用看作是微小的扰动,以此近似求解。但是我毕业多年,大学知识早就还给了老师,现在肯定是看不懂当时的课本了。前不久,著名数学家李天岩去世了,很多数学公众号纷纷悼念。李先生的最重要的论文,即是《周期三意味着混沌》。这是“三”走向复杂性的另一例。

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