镶嵌画中的数学

luyuanhong

镶嵌画中的数学01：前言

作者 | 扬帆起航552
来源 | 小谜题大世界

在网络上，我们经常看见一种很有规律性的画作，它们一般都是由一种基本图案（有的是两种），通过平移、旋转或镜像，把整个平面铺满，没有缝隙和重叠。这种铺放方法，在数学上叫做密铺（tessellation），或平面镶嵌。其中，很多镶嵌画都是由荷兰著名版画家埃舍尔绘制的。那么，这类镶嵌画，究竟背后有着什么样的数学原理呢？


《骑士》——埃舍尔

以《骑士》为例，每个单元由一个骑士和一匹马组成。它的外形可以分成四条曲线，如下图。绿色曲线是由蓝色曲线镜像再平移得到的（数学术语叫作“滑移反射”），同样，紫色曲线是由红色曲线滑移反射得到的。



依次连接四条曲线的交点，可以得到一个筝形，而筝形是可以密铺平面的，如下图。这幅《骑士图》就是在筝形密铺的基础上，把四条直边变成四条曲边得到的。



那么，这种变形需要满足什么条件呢？

因为相邻的两个筝形是滑移反射关系，不难看出，两组邻边可以分别通过滑移反射得到。不失一般性，我们用两种互补块表示，如下图。



变形后的密铺图如下：



事实上，几乎所有的镶嵌画都是在多边形密铺的基础上，对各条边在一定条件下进行巧妙的变形，从而产生惟妙惟肖的各种图案。因此，要创作这种镶嵌画，一个自然的问题是，一共有哪些基本图形的密铺？它们是如何变形的？

在这个系列中，我将尽可能详细地列举已知的基本图形的密铺方式，并分析其变形特点，既是对解决这一有趣的数学问题的一个尝试，同时也为创作类似的镶嵌画提供数学基础。

参考文献：

en.tessellations-nicolas.com/method.php

luyuanhong

镶嵌画中的数学02：平行四边形的密铺

作者 | 扬帆起航552
来源 | 小谜题大世界

任意平行四边形是可以密铺平面的，最简单的方式如下图所示。那么如果要设计镶嵌画，每个单元可以如何变形呢？



（1）如果是用一个平行四边形单元向两个方向不断平移（如下图），则每个单元的两组对边分别全等。



（2）如果是朝一个方向上不断平移，另一个方向上不断旋转180°（如下图），则每个单元的一组对边全等，另两条边各自中心对称。



（3）如果一个方向上不断平移，另一个方向不断滑移反射（即镜像再平移，如下图），则每个单元的一组对边全等，一组对边滑移反射。



请思考，这三种密铺方式有何共同点？

它们都是由一个四边形单元，在一个方向上平移，另一个方向上平移、旋转180°或滑移反射得到的。那么我们自然会问，如果是两个方向上都是旋转或滑移反射，是否存在其他的基础图形的密铺方式呢？我们下期揭晓答案。

参考文献：

en.tessellations-nicolas.com/method.php

luyuanhong

镶嵌画中的数学03：特殊四边形的密铺（一）

作者 | 扬帆起航 552
来源 | 小谜题大世界

我们上期讲到平行四边形的 3 种密铺方式， 它们都是在一个方向上平移，另一个方向上平移、旋转 180° 或滑移反射。那么我们自然会问，如果是两个方向上都是旋转 180° 或滑移反射，是否存在其他的基础图形的密铺方式呢？

其实这样思考比较麻烦，更好的是以单个平行四边形作为考虑对象。在 3 种平行四边形的密铺方式中，都是有一组对边全等，另一组对边分别是全等、各自中心对称以及滑移反射。

那么，如果不要求一组对边全等，会有哪些其他情况呢？

1.两组对边（即四条边）各自中心对称。



不难看出，这是基于任意四边形的密铺，因为不同的边之间没有直接的约束关系（除了构成四边形以外）。

2. 两组对边滑移反射。



可以推出，这是基于矩形的密铺。因为首先，滑移反射就意味着两组对边相等，即平行四边形。然后，还是由于一组对边滑移反射，可以推出 α=β，又 α+β=180°，故 α=90°。



3.两组邻边滑移反射。



其实这就是筝形的密铺，在第一期出现过。可能有人会说，上图不是镖形吗？怎么成筝形了？事实上，筝形分凸筝形和凹筝形两种。其中，凹筝形又称鸢（yuān）形。

4. 一组对边滑移反射，另一组各自中心对称。



其中单个四边形的一组对边相等。

5.一组邻边滑移反射，另一组各自中心对称。



其中，单个四边形的一组邻边相等。

参考文献：

凹筝形.科普中国-科学百科

http://en.tessellations-nicolas.com/method.php

luyuanhong

镶嵌画中的数学04：特殊四边形的密铺（二）

作者 | 扬帆起航 552
来源 | 小谜题大世界

上期我们介绍了 5 种“特殊”的四边形，这些四边形的边都可以分成两组，且每组都是滑移反射关系或各自中心对称。事实上，边与边之间还有旋转相同的关系，这便有可能形成其他的四边形的密铺方式，例如下面 4 种密铺方式。

1. 含 120° 的菱形

首先，菱形是特殊的平行四边形，换句话说，平行四边形的 3 种密铺方式，菱形都满足。我们需要找的是菱形独有的密铺方式。而菱形的特点是邻边相等，要利用这一特点，就很自然地考虑到旋转。

连接正六边形的中心与三个不相邻的顶点，可以将正六边形分成三个全等的含 120° 菱形。因此，我们可以先将含 120° 角的菱形绕 120° 角的顶点旋转 2 次 120°，形成一个正六边形。然后正六边形再密铺平面。



那么，这样的密铺方式下，每个菱形可以如何变形呢？



如上图，每个菱形的两组邻边旋转 120° 相同。

2. 含 60° 和 120° 的筝形

除了第一期所讲的任意筝形的密铺方式外，事实上还有一种特殊筝形的密铺方式。

连接正三角形的中心与各边中点，可以将正三角形划分为 3 个全等的筝形。因此我们可以先将这种筝形绕 120° 角的顶点旋转 2 次 120°，形成一个正三角形。然后正三角形再密铺平面。



那么，这样的密铺方式下，每个筝形可以如何变形呢？



如上图，每个筝形的一组邻边旋转 120° 相同，一组邻边旋转 60° 相同。

3. 正方形

（1）正方形含有菱形的所有密铺方式，并且另外多了一个特点，即含有 90° 的内角。因此我们可以先将单个正方形绕一个顶点旋转 3 次 90°，形成一个 2×2 的大正方形。然后大正方形再密铺平面。



那么，这样的密铺方式下，每个正方形可以如何变形呢？



如上图，每个正方形的两组邻边分别旋转 90° 相同。

（2）在此基础上，笔者发现了另外一种能密铺的正方形结构。如下图，同种正方形 A、B、C、D 铺成一个大正方形。每个小正方形的一组邻边旋转 90° 相同且各自轴对称，另一组各自中心对称。正方形 A 绕点 P、Q 旋转 180° 分别得到 B 和 C。C 绕点 O 逆时针旋转 90° 再左右镜像，得到 D。



不难看出，这样得到的大正方形，其两组邻边滑移反射，即为第一期中筝形的变形结构。其密铺结果如下：



参考文献：

1.en.tessellations-nicolas.com/method.php

luyuanhong

镶嵌画中的数学05：三角形的密铺

作者 | 扬帆起航 552
来源 | 小谜题大世界

按理来说，三角形比四边形更加基础。但之所以先讲完四边形，再讲三角形，是因为三角形密铺基本上都能由四边形密铺演变而来。不相信？请听我慢慢道来。

1. 任意三角形的密铺

我们在第二期讲过，平行四边形朝两个方向平移可以密铺平面。将任意三角形旋转 180° 可以拼成一个平行四边形，因此任意三角形能密铺平面，如下图。



由于任意相邻两个三角形都是旋转 180° 的关系，因此基础三角形在变形时，需保证每条边都中心对称，这样其旋转 180° 之后才与自身重合。

密铺结果如下：



2. 等腰三角形

在任意三角形的密铺方式中，长边与长边重合，短边与短边重合，因此两个相邻三角形的公共边是同一条边。而等腰三角形有两条边等长，因此一条公共边可以在这个三角形中是 AB，在另一个三角形中却是 AC。

照此思路，得到下图：



其中，每个三角形的两条边滑移反射，另一条边中心对称。

发现了吗，上图中两个等腰三角形组成的菱形，实际上是筝形密铺的变形特点——两组邻边滑移反射。

3. 等边三角形

连接正六边形的中心与 6 个顶点，可以将其分成 6 个等边三角形。另外，如果结合上一期中的旋转密铺方式，我们自然想到：或许可以先将等边三角形其绕一个顶点旋转 5 次 60°，形成一个正六边形，然后再密铺平面。

照此思路，便能得到下图中的密铺方式：



其中，每个三角形的两条边旋转 60° 相同，第三条边中心对称。你知道吗？埃舍尔的作品《对称水彩 94 条鱼》（1955）就是基于这种密铺方式的。



4. 等腰直角三角形

类似的，由于正方形可以由等腰直角三角形旋转拼成，因此存在下图的密铺方式：



其中，每个等腰直角三角形的两条边旋转 90° 相同，另一条边中心对称。

5. 120° 等腰三角形

同样地，等边三角形可以由含 120° 的等腰三角形旋转拼成，故存在下图的密铺方式：



其中，每个三角形的两条边旋转 120° 相同，另一条边中心对称。

在前几期文章中，我们介绍了 5 种基于三角形的密铺和 12 种基于四边形的密铺。在 Alain Nicolas 的 35 种密铺方式中，还有 5 种对称性很强的四边形密铺方式（即 1Sa、2Sa、2Sb、3Sa、4Sa），笔者认为其属于这 12 种密铺方式的特殊情况，未将其单独列出。是否妥当，还请读者评判。

接下来我们将介绍基于六边形的密铺。之所以先跳过五边形，一方面是因为某些五边形密铺以六边形密铺为基础，同时也因为五边形密铺问题比六边形密铺问题更加复杂。

参考文献：

en.tessellations-nicolas.com/method.php