单位正方形内垂直线段和水平线段相交的概率问题

图老师3

A vertical line segment of length a ≤ 1 and a horizontal line segment of length b ≤ 1 are chosen uniformly and independently inside a unit square (the segments must lie entirely inside the square).

What is the probability that the two segments intersect?

图老师3

单位正方形内垂直线段和水平线段相交的概率问题配图。

小fisher

假设水平线段两端点的坐标分别为（x1, y0), (x2,y0)，竖直直线两端点的坐标分别为 (x0, y1), (x0, y2)，两线段所在直线的交点坐标为(x0,y0)，两条线段相交的充要条件是x0∈(x1,x2)且y0∈(y1,y2)，随机取3个x值x0、x1、x2，x0∈(x1,x2)的概率是1/3；同样，随机取3个y值y0、y1、y2，y0∈(y1,y2)的概率也是1/3，因此两条线段相交的概率是1/9。

小fisher

水平线段S1和垂直S2相交的充要条件是：1）线段S1与S2所在直线相交，且2）线段S2与S1所在直线相交。
先算1）的概率：
把正方形划分为n*n的网格，长度为k（k=1,2,...n）的水平线段有n(n+1-k)条，从1到n所有长度的线段总数为S=n*n*(n+1)/2条。同时，每条长度为k的水平线段与n条垂直直线中的k条相交，所有长度为k的水平线段与所有垂直直线的相交次数为nk(n+1-k)，所有长度的水平线段与所有垂直直线的总相交次数为T=n*n*(n+1)(n+2)/6，平均每条水平线段相交的垂直直线有S/T=(n+2)/3条，随机水平线段与垂直线段S2所在直线相交的概率为1/3 + 2/（3n），当n趋向于无穷大时，这个概率为1/3。
同理，2）的概率也为1/3。同时满足这两个独立条件（即水平线段与垂直线段相交）的概率为1/3 * 1/3 = 1/9。