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数学家的这些兴奋点,你能理解吗?

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发表于 2020-7-10 18:15 | 显示全部楼层 |阅读模式
数学家的这些兴奋点,你能理解吗?

作者 | 徐晓平 中国科学院数学研究所博士生导师、研究员
来源 | 格致论道讲坛

“数学是纯粹的,不需要华丽的修饰,一道道简洁又从容的公式,就能表达出这种纯粹的逻辑之美。素数出现在我们的生活中,又体现在生物进化的历程中,更让无数的数学家为之呕心沥血、如痴如醉。”



一提到数学,一般人都觉得太枯燥无味。但细细想、细细看,它又无处不在。今天我们从逻辑的角度,来领略数学的美。

首先,什么是数学?它是科学的描述和研究事物规律的方法和工具,是人类逻辑思维文明的重要体现,更是逻辑思维文明的发展平台。

我曾经问一个法国教授,数学有什么用?他告诉我,数学能使人更聪明,数学的价值不能单靠物质上是否有用来衡量。美国华尔街的金融机构,雇佣了大量的数学博士,看重的就是他们逻辑思维能力。

素数之美

自然数1、2、3、4、5,出现在古代人类文明中有五千年以上的历史。可是人们对自然数的认识,却是一个漫长发展的过程。比如说素数,也称为质数,是大于1的整数,它不能写成小于它的两个正整数之积,例如素数2、3、5、7、11、13、17、19等。

素数最早出现在古代埃及分数中。有5张大饼平均分给8个人,怎么分?先看古埃及怎么分,将其中4张各切成两半,剩下张切成8块,每个人的份额是半块加1/8块。



用现代数学表示,就是5/8等于1/2加1/8,它就是一个埃及素数。它是古埃及人刺在一种不易腐烂的树叶上的分配方案,是考古学家发现的。如果一个数是有限个分子为一的分数之和,它被称为埃及分数。古埃及人在类似的分配方案中,意识到了素数的特性。



对素数的研究的记载,最早出现在公元前300年的古希腊人欧几里得的《几何原本》中。欧几里得证明了有无穷多个素数,那么有没有更好的数素数方法呢?有,这就是所谓的素数定理。



我们数数看,小于X的正整数里有多少个素数?X小的时候能数,X大了很难数了。而素数定理告诉你,当X充分大的时候,这个值与X除于LnX的值相近。近看小于x的素数值看不出所以然来,远看它却表现出优美的规律,X除以lnX,这就是数学的美妙之处。



这是18世纪末,由高斯和勒让德独立发现的,但是并不是由他们证明。他们的发现只是一种猜测。两个人试图证明过,但没有成功。后来Chebyshev在1851年,Riemann在1859年尝试过并取得了进展,但是还是没有完全解决问题。

最终,1896年,Hadamard和Poussin独立地完成了证明。也许你会问素数有什么用?动物学家发现某些蝉的演化用到了素数。这些虫的一生,大多数时间以蛆的形式生活在地下,到化蛹出地洞需要7、13或17年,出来后翻飞繁殖,最多几周就死亡了。



为什么这些虫要素数年后才出洞呢?据说是为了减少被天敌追杀的概率。70年代,素数不仅是发明公钥密码算法的基础,还是现代许多数学领域里发展的根基。

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 楼主| 发表于 2020-7-10 18:18 | 显示全部楼层
公式之美

上世纪初,印度的天才数学家Ramanujan,在剑桥大学见到Hardy之前,给Hardy写了一封信,内含他发现的等式。



左边是个无穷的连分式,而右边却是个简洁的初等的表达式。Hardy看到后说:“它完全击溃了我,我之前一点也没有看过这样的东西,只有一流的数学家才能写出来!”,这就是让人眼前一亮的数学。

下面的例子跟我们的日常生活有关。一个自然数n的分割函数,是n个物体分配方案的个数,比如说n等于2有两种分法;n等于3有三种分法;等n等于4的时候就不是4种分法了,而是5种分法;n等于5,有7种分法。



我们看一下数字,P(2)等于2,P(3)等于3,P(4)等于5,P(5)等于7,P(10)等于42。大家看到P(100)已经很大,而到P(200)那就更大。看了这组数据以后,你可能会说增长太快了,没法数,但是有人会数。



Hardy和Ramanujan在1918年,Uspensky在1920年独立证明“当n充分大时,P(n)与近似号右边的初等函数的值相近。同样,近看P(n)的数字跳跃的很厉害,看不出什么规律,远看它却以一个初等函数的规律显示出来,这个结果是猜不出来的。



他们是用了数论里面的圆法,经过复杂的计算得到的,他们做出了别人难以想象的结果,分割函数也常出现在量子物理中。

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 楼主| 发表于 2020-7-10 18:26 | 显示全部楼层
数学的“残缺美”

听说过“残缺美”这个词吧?我们不得不想到,维纳斯女神的断臂雕像。



如果不是断臂,它只是普通西方女人的雕像,谁也记不住,可是一断臂,让看过的人终生难忘。那么数学上有没有这样的事情呢?

1637年费尔马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本,写到:“不可能把一个正整数的三次方,分成两个正整数的三次方之和;不可能把一个数的四次方,写成两个正整数的四次方之和;对正整数的更高次幂也类似。我发现了一个奇妙的证明,但这个空格太小了,写不下。”



这就是所谓的费尔马大定理。用公式写就是,对大于2的整数n,不存在正整数a,b,c,使得a的n次幂加b的n次幂等于c的n次幂。其实费尔马自己只证明了n等于4的情形。欧拉证明了n等于3的情形。1995年,由当时在普林斯顿大学的Andrew wiles教授所证明。他现在在英国牛津大学。

由于没有看到费尔马留下的证明,人们尝试证明它的过程中发展了代数数论、椭圆曲线理论、Hecke代数理论等。



如果费尔马真的证明了并把证明留下来,那么这些理论的发展很可能延缓,所以这就是数学的“残缺美”。

还有没有解决的数学难题吗?有。对我们中国来讲,最熟悉的就是哥德巴赫猜测。



一个大于2的偶数都可以 写成两个素数之和,这就是所谓的“1加1”问题。例如4等于2加2,6等于3加3,8等于3加5,10等于3加7,也等于5加5,12等于5加7等等,人们用计算机验证了所有小于等于4乘10的18次方的偶数,结论都对,可是到现在为止,人们仍然无法证明它。

1973年,我国著名的数学家陈景润证明,一个大于2的偶数可以 写成两个素数之和,或一个素数加上两个素数之积。这就解决了所谓的1加2问题,这是该方向迄今为止最好的结果。



除此之外,还有一个问题叫做孪生素数猜测,存在无穷多个素数p,使得p+2也是素数,这是个千古之谜。到2013年,华人数学家张益唐证明了存在无穷多个素数,使得从p到p加7000万这个区间内也含素数,这是数论领域里面一项革命性的工作。



在这之前人们不知道是否有这样的有限区间存在,在这之后格林和陶哲轩等人用张益唐的方法把7000万改到200,取得了很大的进展,但是离最后的结果2还相差很远,算法上还需要改进。

我们常看到星星,可能没注意到有一个多体问题。物理学家和数学家一直试图找出相互有引力的n个物体的运动轨迹,n等于2时,已经被约翰·伯努利在17世纪解决;当n大于2时,却至今没有解决。



2007年我在解n个物体在一条直线上的特殊模型时,发现了具有高斯超几何函数3个基本性质的多元超几何函数。在1798年的博士论文中,高斯引进了著名的单变元超几何函数,它的重要性就是由这三个基本性质导出的。

流体我们都熟悉,Navier-Stokes方程就是流体力学中基本方程。



对任意给定一个光滑的初始条件,是否有光滑的整体解,这是数学界一个长期未解决的数学问题,也称为千禧问题,如果谁能解决就能得到一百万美元的奖金。

未解之难题,未登之高峰

2009年我利用该方程的代数特点和运动变化,得到了一些人反映特殊物理现象的奇异解,如漩涡。当然还有许多数学问题有待人探索。

也许你会问数学家为什么努力解决这些问题?因为这些问题是逻辑思维的标杆,解决它们就代表人类逻辑思维能力达到了新的高度,就像登山爱好者攀登高峰一样。

1993年我去西班牙参加一个代数会议,在会议间歇期间,我问一个来自美国威斯康星大学的资深教授,为什么在他报告的Novikov代数分类中,要假设特定的条件。他说没有这些条件我做不出来。

回到单位我很好奇地自问,没有这些条件的障碍在哪?在办公室想,在家也想,都没想出个所以然。

但在某一次登山的过程中,我又想了想,突然灵光一闪,想到了扫除这些障碍的方法。当时我觉得比别人中彩票还高兴,数学家一旦解决长期没解决的问题,这种喜悦绝对超过挣到一百万块钱。

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