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证明一个三角公式 [sin(A+B)]^2=(sinA)^2+(sinB)^2+2sinAsinBcos(A+B)

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发表于 2020-6-30 12:26 | 显示全部楼层 |阅读模式


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发表于 2021-8-28 18:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-8-28 18:59 编辑

题:证明三角恒等式 [sin(α+β)]^2=(sinα)^2+(sinβ)^2+2sinαsinβcos(α+β) 。

思路(代数代换):令sinα=a,cosα=b,sinβ=x,cosβ=y,其中,a^2+b^2=x^2+y^2=1。

显然,右边=a^2+x^2+2ax(by-ax)=a^2+x^2+2axby-2a^2x^2(基本原则是由繁到简)
               
=(ay+bx)^2-a^2y^2-b^2x^2+a^2+x^2-2a^2x^2
               
=(ay+bx)^2+a^2(1-y^2)+x^2(1-b^2)-2a^2x^2
               
=(ay+bx)^2+a^2x^2+x^2a^2-2a^2x^2
              
=(ay+bx)^2=左边。

注:既然是三角恒等式,当然α、β可以是一个三角形的两个内角。

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发表于 2021-8-28 21:48 | 显示全部楼层
(sinα)^2+(sinβ)^2+2sinαsinβcos(α+β)
=(sinα)^2+(sinβ)^2+[cos(α-β)-cos(α+β)]cos(α+β)
=-[cos(α+β)]^2+(sinα)^2+(sinβ)^2+cos(α-β)cos(α+β)
=-[cos(α+β)]^2+(sinα)^2+(sinβ)^2+[cos2α+cos2β) ]/2
=1-[cos(α+β)]^2+(sinα)^2+(sinβ)^2-(sinα)^2-(sinβ)^2
=[sin(α+β)]^2
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发表于 2021-8-28 22:53 | 显示全部楼层
可以证明:

[sin(α+β)]^2=(cosα)^2+(cosβ)^2-2cosαcosβcos(α+β)

[cos(α+β)]^2=1-(cosα)^2-(cosβ)^2+2cosαcosβcos(α+β)
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