比方说我们应用这个定理,我们就知道,平面上以原点为圆心、半径为r的方程,它就是一个很漂亮的方程,x^2+y^2=r^2。关于它的蕴意的丰富,我们其实可以从这里提出很多的问题来,这些问题在中学就可以让老师告诉学生,但是一般老师好像并没有这样启发学生。比方说什么样的正整数能够成为直角三角形的边长?这样的问题有趣,但还不算太难。另一个问题,如果边长都是整数,它的直角三角形面积是不是也是整数?这也比较简单。到了第三个问题,你就会发现它是惊人的难,如果直角三角形的边长都是有理数,什么情况下它的面积是整数?我们可以举一个例子,3/2、20/3、41/6,它是一个直角三角形的三个边长,它的面积是5。看起来这个问题好像不太简单,这个问题其实已经有一千年的历史,是古埃及人提出来的。157就是这样一个整数,以157为面积的最简单的有理直角三角形的三个边长,大家可以看一下,分子分母都会有40多位。大家可能想不到这里面会有这么复杂的数据在这里头,你更想不到这个问题它会和BSD猜想(编注:全称 Birch and Swinnerton-Dyer 猜想)联系在一起。BSD猜想到目前为止谁也没能够证明它,已有的结果离完全解决遥远得很,因为它是关于椭圆曲线的一个问题,也是克雷数学研究所几个千禧年的问题之一。换句话说如果你能够证明它,能拿到100万美元,也有着享誉全世界的学术声誉。