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李天岩:回首来时路

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发表于 2020-6-26 21:45 | 显示全部楼层 |阅读模式
李天岩:回首来时路

据有关消息,传奇数学家李天岩教授于北京时间2020年6月25日晚上9点05分去世,享年75岁。

李天岩,1945年6月出生于福建省沙县,祖籍湖南,数学家。1968年毕业于台湾清华大学数学系。1974年获美国马里兰大学数学系博士学位。1975年12月与导师约克在《美国数学月刊》杂志上发表论文“周期三意味着混沌”。该文首创了“混沌”的数学定义,开拓了整个数学界、科学界对混沌动力系统理论和应用研究的新纪元。美国普林斯顿高等研究院英国裔物理学家戴森(Freeman Dyson)教授评价该论文说:李-约克论文是数学文献中不朽的珍品之一。

今天我们重发李天岩教授在《数学传播》上刊载的这篇文章,以此纪念这位传大的数学家。

李天岩:回首来时路.jpg

作者 | 李天岩
来源 | 原载于《数学传播》 31 卷 4 期,pp. 38-42,本文由作者在 2005 年底及 2006 年底两次于清华大学讲演的讲稿改写。

当初第一志愿考进数学系,当然号称是因为对数学感兴趣。其实中学时代对数学的所谓兴趣多半也只是建立在钻研和解决数学难题时所得到的“快感” 上吧。没想到一进了大学,差点就被初等微积分里那些莫名其妙的 ε-δ 给逼疯了。记得那时同寝室的另三位室友都是大一数学系的新生。那时我们多在晚间 11 点左右就熄灯就寝。但是常常在半夜一、二点钟时,发现大家都被那些鬼 ε-δ 的抽象概念搞得睡不着觉。记得我隔壁书桌的一位同学常常在打草稿写“遗书”,“遗书”的内容基本上是说:什么都搞不懂,不知怎么办好,不想活下去了...。后来到了美国以后才知道,我们都不是天字第一号的笨蛋。好比说,在我目前任教的密西根州立大学,系里根本禁止在一、二年级初等微积分的课程里灌输学生所谓 ε-δ 的抽象概念。其实在牛顿,莱比尼兹 (Leibniz) 发明微积分时,“逼近”, “渐近”,“Infinitesimal” 的概念并没有非常严格的“定义”。也只有到 19 世纪的中期,数学界的顶尖高手才开始对所有数学概念要求“严格地定义”(rigorously defined)。比如说,请告诉我到底什么是“1”?什么是“2”?为什么 1+1= 2?(For that matter, 到底什么是“+”?) 若在初等微积分入门那个阶段就要用 ε-δ 去严格刻划“逼近”,“渐近”,“Infinitesimal” 的抽象概念,就好像在小学生学基本算术加乘法之前,要求他们先严格定义什么是“1”, 什么是“2” ……什么的。果真如此,少年维特对数学的烦恼肯定提前发生了,不是吗?中学时代对数学难题的钻硏根本上和数学概念上的所谓 intuition 没啥关系,因此大家都好像严重忽略在引入抽象概念之前,先介绍 intuitive idea 的重要性。我也是到美国以后才知道,数学上的逻辑推理和对数学结构性的认知有相当大的差距。记得上次在南京时,和一位南京大学数学系的年青教授午餐,这位教授那时并没有放过“洋”, 他听说东方学生到美国念硏究所一、二年级时成绩多半杰出,可是过了选课期到硏究做论文的阶段就逐渐落后老美了,不知是真是假?其实这位教授所听说的大致正确。一般较用功的东方学生,在国内受教育时大都下很大的功夫在记忆数学上的逻辑推论:这一步为什么 implies 下一步,下一步为什么 implies 再下一步……什么的。然后把所有习题都拿来钻一钻。在这种情况下,一般的笔试是很难考倒这些学生的。

可是美国学生所不同的是,在他们早期的数学教育里却已很普遍的在问:What it says?以及 Why it works?这些问题在考笔试时几乎不太可能遇到。但在做研究时却是非常非常重要。我有一个台湾来的博士生。有一次我请他把我在专题讨论班里讲过的一篇很重要、很复杂的文章用他自己的数学语言仔细写出来。从他后来交来的报告里,可以看出他的确下了很大的功夫把文章中被省略的逻辑细节严密的补足了。我把他的报告改了改还给他。然后他又交了来,我又改了改再还给他。他再交来时,我请他告诉我,这篇文章到底在干什么?没想到他却一个字都答不上来。其实在一般的数学研究论文里,我们最常见的是作者用些莫名其妙的定义推些最一般性的定理。我们若只是非常用力的去了解它的逻辑推理,而轻易忽略去搞清楚作者脑袋瓜里到底在想些什么,那么我们对文章的了解的确非常有限,很难由此做出杰出的工作。非常遗憾的是,极多数重要论文的作者都不会轻易把他们脑袋瓜子里真正的 point 用力写出来。你必须自己去问这些问题,自己去追求它的答案。

这一路过来,我常举的一个例子是,我对一个矩阵的“行秩” 和“列秩” 为什么会相等的好奇。其实在任何基本“线性代数”的书里,我们都可以找到它们为什么相等的证明。但是从那些逻辑推理的外表,我实在看不出它们为什么 happen to be equal。在我真正了解到它们为什么会一样的过程中,这个“好奇” 却帮我了解了许多广义逆矩阵的几何意义。又好比说,谁不会矩阵运算里的“高斯消去法” 啊?有一次我问台湾南部大学数学系的一位教授(这位教授在大学念书时,好像还赢过台湾“线性代数”比赛的“银牌”)高斯消去法的几何意义到底是什么?他说,这年头谁要去想这种问题?!语言简单的东西,懂不懂好像不那么重要。管它懂不懂老子照样可以挤出可以在“SCI” 杂志发表的文章。可是遇到较复杂的语言时,好比近代代数几何里的基本语言“Scheme”,—般人若对它整个的来龙去脉缺乏一个整体性的理解,恐怕连“定义” 都无法轻易记忆。记得我在自 修“交换代数” 时,遇到所谓的“局部环”(local ring), 当时只是好奇,为什么称它“局部环”?从它定义(只有唯一的一个 maximal ideal 的环)的表面实在看不出凭什么称它为“局部环”。可是在我试图真正去了解为什么要称它“局部环” 的过程里,这个“好奇” 却帮助我了解了许多代数几何上的概念。这一路过来,这种对数学的“好奇” 以及对这些“好奇” 问题答案的追逐的确给我带来对研读数学的极大乐趣。在这里我想强调的是,对这些“好奇” 的 chase 毫无争取在 SCI 的期刊上发表论文的意图。

当初去 University of Maryland 念研究所是一个巧合,遇到后来的指导教授 James A. Yorke 更是一个极大的巧合。不管怎样,记得 Yorke 教授头一次看了我当初在清华念书的 File 时,显然是吃了一惊。以为我是那路杀来的“高手”, 功力无比深厚。现在回想起来那个档案里所纪录的实在是有极大的 Misleading(这字有时是“诈欺” 的礼貌性用词)。看哪!我在念大二的“三高 "时,“高等微积分” 用的是 Apostol 的“Mathematical Analysis”。“高等几何” 用的是 Halmos 的“Finite Dimensional Vector Spaces”。“高等代数” 用的是 N. Jacobson 的“Leetures in Abstract Algebra”。微分方程用的是 Coddington 的“Introduction to Ordinary Differential Equations”。大三念“近世代数” 时,用的是 van der Waerden 的“Modern Algebra”。念“复变函数论” 用的是 Ahlfors 的“Complex Analysis”。另外,大三还念了拓朴学、数论。大四念了泛函分析、李氏群论、实变量函数论(用的是 Royden 的“Real Analysis”), 微分几何(用的是 Hicks 的“Notes on Differential Geometry”)。这些课不但都修过,而且成绩都不低(大四修的课都在 90 分以上)。在表面上看来,这个纪录的确是相当傲人了,不是吗?可是今天把那些教科书拿出来翻一翻,实在很难想象当初是怎么混过来的。好比说,Ahlfors 那本书的水平不低。它绝不适合做初学复变量函数论的教科书。记得我们大二在学高等微积分时,教授根本就跳过了“线积分”(现在想来,大概根本的原因还在于 Apostol 那本书过于“高深”, 教授无法教完书里大部分的材料。)可是 Ahlfors 的书基本上是假定阁下已清楚的掌握了所谓的“Countour Integral"(复数面上的线积分)。若是对 Countour integral 都不甚理解,我很难想象当时怎么去理解“Cauchy Integral”、“Laurent Expansion”……等等基本的概念。那时的老师们好像一般来说都觉得,能用愈深的教科书(其实每本书都“号称” 是“self contained”)学生自然就会变得较“高档次” 吧!其实抽象数学的出发点多半起始于对实际问题所建立的数学模式。然后将解决问题的方式建立理论,再抽象化,希望能覆盖更一般性的同类问题。因此在学习较高深的抽象数学理论之前,多多少少要对最原始的出发点和工具有些基本的认识。要不然,若是一开始就搞些莫名其妙的抽象定义,推些莫名其妙的抽象定理,学生根本无法知道到底是在干些什么。可是为了考试过关,只好跟着背定义,背定理,背逻辑,一团混战。对基础数学实质上的认识真是微乎其微。我们那时的学习环境大致如此。所以我那时档案里的纪录虽然极为 Impressive, 但是如今回想起来,当时实在是“一窍不通”。背定理,背逻辑最多只能应付考试。毕业服完兵役以后,绝大多数以前所学当然都忘了。老实说,在出国前,我真想放弃学数学,不干算了。后来在美遇到了导师 Yorke 教授。从他那里,我才慢慢对学数学和数学研究开始有了些初步的认识。这些认识大大助长了我以后学习数学的视野和方式。最重要的是,学习“高档次” 的数学理论,绝对必须从对低档次数学的理解出发。

我自己常常觉得老天在我数学的 Career 上实在是给了我太大的幸运。记得那年在 B. Kellogg 教授所开“非线性数值分析” 的课堂上听到他所讲关于 M. Hirsch 用微分拓朴的反证法证明“Brouwer 固定点 "的存在定理。其实我觉得只要把 M. Hirsch 的证明稍稍做些变动(这个变动大概不超过原来证明的 1% 吧!), 就可以轻易的把他的反证法(“……若“固定点” 不存在,则天下会大乱..." 什么的)变成一个找这些固定点的实际方法。后来和导师 J. Yorke 教授提起了我的看法。记得那时摆在我面前的研究课题有好几个,没想到 Yorke 教授却坚持要我全力以赴的去实践这个算法的构想。老实说,那时我心里最不想做的就是这一个问题。首先,我那时根本不懂计算(连基本的 FORTRAN 语言都不会)。另外,我们那时并没什么“工作站”, “个人计算机” ……什么的,所有计算程序都必须打在卡片上(一行一张卡), 然后把它们送去计算器中心,他们用学校仅有的二台机器替你跑程序,剩下来的就看你的运气了,有时二十分钟之后就有结果。有时要等二、三小时甚至更长。还有一个不想做这个题目的理由:那时总以为数学研究总是要证些定理什么的,搞些 ε-δ 的玩意儿,我对算 Brouwer 固定点的构想即使可以顺利运作,好像也无法挤出些“定理” 来。不管怎样,在我们那个年代,好像老师叫你做什么,你照着做就是了。虽然我自己心中极不热衷这个题目,但是从里到外都毫无排斥的意识。

记得我是在 1974 年的 1 月中开始着手这个问题。关于写程序,甚至打卡都只好一面做一面学。几乎每天在清晨 6 点半就送卡片去计算器中心,然后是等结果,改程序,等结果,改程序,……常常弄到半夜 12 点多。每次等到的结果都因程序或算法的错误,基本上拿到的都是一大迭的废纸。后来,去计算器中心拿(或等)一迭废纸好像已经变得习以为常了。记得是在 3 月 15 日那天早上,我到计算器中心所拿到的结果却只有薄薄的几页。起先心中只是大为疑惑:今天是怎么回事?没想到打开一看,居然算出“固定点” 来了!

说实在的,我那时心中并没有很大的成就感。这就好像老师要我去扫厕所,我终于把厕所打扫干净了,如是而已。没想到,大约在一个月以后,Yorke 教授在 AMS(美国数学学会)的“Notices” 上看到一个将在当年 6 月 26〜28 日在南卡罗来纳州的 Clemson University 举行的一个 "International Conference on Computing Fixed Points with Applications" 国际性会议的 information。完全出乎我们意料之外的是,从 1967 年开始就有一大群人在研究 Brouwer 固定点的算法。这些人多半是出自名校经济系、商学院、作业研究、工业工程……等系所的教授,因为许多经济学上的模式的“均衡点”(Equilibrium)都可以用 Brouwer 固定点的方式来表达,因此 Brouwer 固定点的运算变成了实际应用上的一个重要工具。这个 Conference 显然邀请了那个门派所有的“大老”、“天王” 们去做报告。Yorke 教授在知道这个会的讯息之后,立刻打了个电话给这个 Conference 的主办人 S. Karamardian, 告诉他我们有一个新的算法。当时 Karamardian 也只是半信半疑的勉强答应提供我们二张来回 Clemson 的机票。后来我和 Kellogg 教授一起去参加了那个 Conference。我们在那里“一鸣惊人”。后来耶鲁大学经济系的讲座教授 H. Scarf(他是当初在 1967 年,头一个提出 Brouwer 固定点算法的开山祖师爷)在 Conference Proceeding 的 Introduction 里说:

“...For many of us one of the great surprises of the conference at Clemson was the paper by Kellogg,Li and Yorke which presented the first computational method for finding a fixed point of a continuous mapping making use of the considerations of differential topology instead of our customary combinatorial techniques. In this paper,the authors show how Hirsch's argument can be used to define paths leading from virtually any pre-assigned boundary point of the simplex to a fixed point of the mapping....”

附带一提的是,我们算法中所引用的微分拓朴概念,后来在解非线性问题数值计算的“同伦算法” 上起了“革命性” 的作用。

前一阵子,我在美国一个期刊上读到一篇成功企业家在退休后所写的感言。其中让我一直无法忘却的一句话是:

“...One must prepare to be lucky!...”

回想当初我在 struggle 固定点的运算时,实在有的是借口可以像我曾接触过的一些学生似的总是在拖宕,闪躲,拒绝干活,骗自己,...。果真如此,这个天上掉下来的“万年火龟” 不是轻易擦身而过了吗?

有一次和 Yorke 教授闲聊起关于“智商” 的事。一般来说,他并不太看重“智商” 的高低。记得那时他说,“...People in U. C. Berkeley have high IQ by definition. But,you just can't believe what kind of stupid problems they are looking at. We will choose the right problem to beat their IQ by 20 points....”这些话显然是略为邪门,但是这些年来,每次遇到该选什么研究题目时,总是想起他这些话。回想当初若给我一个选择,我绝不会拼了老命去算 Brouwer 的固定点。那时心里真正想搞的倒是在那时偏微分方程领域里相当时髦的 Monotone Operator。那时有许多牌子很大的人物 (像是 Hartman,Stampacchia,Minty,J. L. Lions...) 都在搞那一套。可是现在看来,那个时期在 Monotone Operator 领域的工作,简直没有一个里程碑性的成果能够保留到今天。这些年来,我个人曾直接接触过些数学界的顶尖高手。但是若谈到对判断题目意义的本领,我的导师 Yorke 教授在这方面的功力的确深厚,绝不输那些“顶尖高手”——这也许是我自己最大的幸运吧!

我从清华毕业已将近 40 年了。有时常常想,若是重新再给我一次学习的机会,我将怎么做,怎么做……什么的,但是,

“虽然再也带不回芳草鲜美的时光,我们亦不会悲伤,而要从留下的东西中汲取力量。”(Though nothing can bring back the hour of splendour in the grass, of glory in the flower, We will grieve not, rather find Strength in what remains behind.)
(录自中学时代看过的一场由华伦比提和娜妲丽华领衔主演的电影《天涯何处觅知音》)

李天岩:回首来时路.png
电影《天涯何处觅知音》剧照

所以,重新再给我一次机会的事只是幻想。我希望我的经历能在诸位长远的数学研究,学习,甚至教学上贡献一点什么。谢谢大家。
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