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五合一定理

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发表于 2020-6-19 10:55 | 显示全部楼层 |阅读模式
五合一定理

作者 | 蔡聪明 台湾大学数学系退休教授
来源 | 数学传播 41 卷 4 期, pp. 60-68

编注:本文所述“毕氏定理”即“毕达哥拉斯定理”,也叫“勾股定理”,“毕氏逆定理”即“勾股定理的逆定理”。

本文我们要证明下列五个几何定理都是等价的:1. 毕氏定理; 2. 毕氏逆定理; 3. 三角形的余弦定律; 4. 圆内接四边形的余弦定律; 5. 托勒密定理。

笔者曾经看过学生这样论证:考虑三边为 3, 4, 5 的三角形, 因为 , 所以根据毕氏定理知, 此三角形为直角三角形, 并且边 5 所对应的角为直角。一般都会说, 这个论证有瑕疵, 因为并不是根据毕氏定理, 而是根据毕氏逆定理才对。但是, 若毕氏定理与毕氏逆定理等价, 则上述论证在逻辑上并不离谱。

由毕氏定理证明毕氏逆定理是欧氏《原本》的 I.48 (第 I 册的第 48 命题), 反过来由毕氏逆定理证明毕氏定理, 笔者未曾见过。其次, 由托勒密定理证明毕氏定理是显然的, 反过来由毕氏定理证明托勒密定理, 笔者也未曾见过。

在由毕氏定理证明托勒密定理的过程中, 我们用到了三角形的余弦定律与圆内接四边形的余弦定律, 后者笔者也未曾见过, 这些可能都是笔者孤陋寡闻。

本文是根据笔者对中学生演讲的讲义, 整理写成的。

一、毕氏定理(I.47)

五合一定理-1.GIF

毕氏定理堪称为“四最定理”:它的“证明”与“名称”最多, 它是“最美丽”的公式之一, 并且也是基础数学中“应用最广泛”的一个定理。

在文献上, Loomis 对毕氏定理收集有 370 种证法 (有趣的是鲨鱼约有 370 种), 一天证明一种, 一年都证不完。更稀奇的是, 世界吉尼斯记录毕氏定理有 520 种证法。

其次, 这个定理的名称至少有 10 种:毕氏定理, 商高定理, 陈子定理, 勾股定理, 百牛定理(The Hecatomb Proposition), 巴比伦定理, 三平方定理, 新娘坐椅定理(Theorem of the Bride's Chair, 因其图形好像是新娘的坐椅), 第 47 定理 (The 47 th Theorem), 木匠法则 (The Carpenters' Rule)。

毕氏定理除了证法与名称都是最多之外, 它在基础数学中占有核心的地位。我们简直可以用毕氏定理把一大半的基础数学连贯起来。毕氏定理是几何学的核心, “真理之路”(the way of truth)。

二、毕氏定理 => 毕氏逆定理

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三、毕氏逆定理 => 毕氏定理

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四、毕氏定理 => 三角形的余弦定律

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五、三角形的余弦定律 => 圆内接四边形的余弦定律

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六、圆内接四边形的余弦定律 =>  托勒密定理

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七、托勒密定理 => 毕氏定理

这是显然的!只要将圆内接四边形改成长方形, 由托勒密定理立即就得到毕氏定理, 故毕氏定理是托勒密定理的特例,托勒密定理是毕氏定理的推广。

顺便谈一下由毕氏定理看出托勒密定理的一种发现理路。

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托勒密定理是许多三角恒等式的根源, 例如它可以推导出和差角公式、正弦定律与余弦定律。托勒密利用这些结果来制作弦表(相当于正弦函数的数值表)。

底下我们用托勒密定理推导出余弦定律:

五合一定理-9.GIF

八、结语

五合一定理-10.GIF

参考文献

Euclid. The Elements I. Translated by Sir Thomas L. Heath. Dover, 1956.
Elisha Scott Loomis, The Pythagorean Proposition. 19683. Elia Maor and Eugen Jost, Beautiful Geometry. Princeton University Press, 2014.
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