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学数学有捷径吗?菲尔兹奖得主小平邦彦如是回答……

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发表于 2020-6-6 20:29 | 显示全部楼层 |阅读模式
学数学有捷径吗?菲尔兹奖得主小平邦彦如是回答……

原题 | 数学に王道なし.
作者 | 小平邦彦
译者 | 陈治中
校对 | 胡作玄
译自 | 数学の学ざ方, 岩波书店, 1987 年, pp.77-93。本文来自《数学译林》


题目是要谈数学的学习方法, 我只想先谈谈笔者自己是怎样学习数学的, 通过回顾来讨论数学的学习方法.

首先, 我在小学生的时候所学习的并不是现在的“算数”, 而是“算术”. 算术大概就是计算术的意思. 学习的内容以计算技术为主, 图形的东西很少. 究竟怎样学习计算技术的, 几乎都忘记了. 但非常记得二年级时每节课就象念经那样背诵乘法九九表. 还记得一件事是计算距离. 当时的度量制以尺、贯、升为基本单位, 6 尺是 1 间, 60 间是 1 町, 36 町是 1 里, 所以它的计算比前些年在现代化之际流行的 2 进制法及 5 进制法要难得多. 我们要反复练习象
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这样的计算.

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从中学 2 年级到 4 年级的 3 年内学习的几何是古典的欧几里得平面几何. 近年来, 数学教育的现代化, 欧几里得平面几何已经从数学的中等教育中消失了. 听说其理由之一是因为欧几里得平面几何在逻辑上不严密. 但当时笔者却觉得欧几里得平面几何是极为严密的学问体系. 而且还通过欧几里得平面几何来学习逻辑. 平面几何也许并不严密, 但这里学到的逻辑却是严密的逻辑. 谢天谢地, 后来无论是在高中还是在大学, 在逻辑方面并没有学到任何更新的东西.

在当时中学的欧几里得平面几何中, 由纸上描绘的图形表示所看到的现象这种自然科学味道很强. 如果把在纸上描绘图形作为一个实验, 把证明看作说明该实验结果的理论, 那么平面几何可以认为就是自然科学. 为了说明这一点, 作为例子, 考察下面这个 Simson 逆定理.

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这样, 旧制中学的欧几里得平面几何作为由公理构成的数学体系还缺乏严密性. 但尽管如此, 还是把欧几里得平面几何看作极其严密的体系, 这恐怕是因为它作为图形的自然科学是十分严密的. 在学习平面几何时告诉我们重要的是正确描绘图形, 而这与物理实验必须精密是一回事.

欧几里得平面几何中由于没有序的公理, 如果描绘不同的图形进行讨论, 例如就可以证明任意三角形是等腰三角形. 若把它作为欧几里得平面几何的重大缺陷, 笔者认为是非常可笑的. 物理中做错了实验也会得出奇怪的结果, 由于图形的错误而得出来奇怪的结果可以说是很自然的. 假定不管画出什么样的图形都能得出正确的结果, 反倒难以理解.

我还清楚地记得巧妙添加辅助线解决平面几何问题后的快乐, 而具体是什么样的问题, 以及怎么解决的, 已经全然不记得了.

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当时中学的代数与几何教科书是从 2 年级到 4 年级各一册. 3 年级时, 曾与同班的西谷真一两人从头开始做教科书上的问题, 不多时间就把 4 年级为止的问题都做完了. 于是就开始了阅读藤原松三郎著的《代数学》. 《代数学》是专业书, 第一卷大约 600 页, 第二卷也有 700 页, 中学的图书室里还有个竹内端三著的《高等微分学》, 但看到高等的就觉得是很难的数学, 也就敬而远之了. 要是知道《高等微分学》是高中用的微分学, 而《代数学》倒是专业书, 那当然就先读《高等微分学》了.

几乎已经记不起来到底是怎么念的, 以及念的是《代数学》的哪一部分, 但还隐约记得费了不少功夫学习开始的整数系的公理结构, 以及接下来的二次剩余互反律, 连分数还比较容易, Galois 理论却怎么也不明白, 等等.幸好现在又出版了用片假名写的保留原来旧汉字的老版本《代数学》(藤原松三郎: 《代数学》1-2卷, 内田老鹤圃 新社. ——原注), 我才得以在浏览该书的同时尽可能地回忆当时是怎样来学习的.

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为了理解数学的定理, 一般是一步一步循着证明的论证走. 但是循着证明的论证走是为了看看定理所叙述的数学现象的机理, 而不是为了确认证明是正确的, 为什么呢? 因为显然没有必要各自都去确认著名定理的证明是正确的. 根据学习《代数学》时的经验, 开始只要把不明白的证明抄写在笔记本上背出来, 不知不觉中也就明白了, 至少感觉到是懂了. 将不明白的证明在笔记本上反复抄写, 直到背出来为止, 我认为这是学数学的一种方法. 初等几何的大家秋山武太郎先生的名著《通俗几何学》的绪言中也有这样的句子: 特别地, 因为几何学是数学中要背的东西, 所以连问题都必须记住(秋山武太郎:《  几何学》5 页——原注). 顺便说一下, 古屋茂与笔者的弟弟在武藏高校(旧制)都随秋山先生学习过平面几何, 据说不管带着什么样的难题去问, 先生马上当场就解给他们看.

要是那样的话, 不就是说证明只要背下来也就明白了吗? 似乎还未必如此. 在反复记笔记中间, 在大脑中就产生了些什么, 从而就明白了! 好象就是这样的. 如果什么也没有产生, 那么尽管背了下来, 也还是不会明白的. I. Niven 关于  π 是无理数的原先的证明非常简单明了, 但开始读的时候, 感觉就象看到了巧妙的戏法, 却没有感觉到是明白了. 而为了写作本稿, 多次抄写在笔记上改写证明, 这才觉得是弄明白了.

笔者也有这样的经验, 即反复在笔记上抄写却还是弄不明白, 这就是十几年前, 当我想要了解从未接触过的数学基础理论到底是什么样的学问, 而去阅读 Kleene 的 Introduction to Metamathematics, 以及 Schoenfield 的 Mathematical logic 等书的时候. 因为觉得数学基础理论是最严密的数学, 所以只要仔细循着其论证走就能清楚明白了, 从这样的假定开始阅读, 不要说清楚明白, 简直是迷迷糊糊一无所获. 虽然非常仔细地抄写在笔记本上苦心钻研, 还是如坠五里雾中, Godel 的不完全性定理好容易明白了一些, Cohen 的力迫法却始终也搞不懂. Kleene 的书与 Schoenfield 的书都是研究生院一年级的教科书, 所以青年学生应该很容易就能读懂的. 但是稍微上了点年纪就怎么也弄不明白了, 真是不可思议的现象.

对于应用广泛的基本定理则经常有这样的事, 即, 开始时循着证明的论证一步一步走都搞明白了, 又由于定理的频繁使用也完全记住了, 但这期间证明的方法却被慢慢地忘得一干二净. 然而, 决不是说忘记了证明就说定理也不明白了, 倒还不如说是在反复应用定理的过程中反而越发加深了对定理本身的理解.  π  是无理数这一定理就属于虽然不知道证明但却完完全全是非常清楚的. 人们也许会说不知道证明却完全理解的定理恐怕是个例外, 但实际上我觉得未必是例外. 1953 年 F. Hirzebruch 在代数簇的场合证明了 Riemann-Roch 定理, 猜想该定理在复流形时也照样成立, 1963 年传来了 Atiyah 与 Singer 证明了复流形的 Riemann-Roch 定理的消息. 因为知道使用 Riemann-Roch 定理就可以进行复解析曲面分类的研究, 所以笔者立即就开始了复解析曲面分类的研究. 那时, 对笔者来说, 复流形的 Riemann-Roch 定理就是一个完全理解但却不知道其证明的定理. 再有, 当 1952 年周炜良和笔者在合作的论文中证明具有两个代数无关的有理函数的 Kahler 曲面是非奇异代数曲面时, 证明中用到的代数曲面的奇点消灭定理, 对笔者来说, 也是一个不知道证明但非常清楚的定理. 象奇点消灭定理那样最最基本而证明非常长的定理, 实际上, 虽然不知道证明, 但作为完全理解了的定理, 能够应用的场合并不少. 近期出现了在证明中使用计算机的新型定理. 那么什么叫做理解了这种定理呢, “理解”的含义已经越来越扩展了.

再说数学的学习方法, 打开数学书一看, 就是若干个定义与公理, 以及定理的证明: 为了理解定理, 首先要阅读证明, 循着其论证一步一步看. 最好是弄懂证明, 如果不明白时, 就在笔记上反复抄写看看, 大多数情形就会明白的. 我觉得, 在笔记上反复抄写不懂的证明是数学的一个学习方法. 如果反复在笔记上抄写仍不明白, 那该怎么办才好呢? 我也不太知道. 但笔者在学习 Schoenfield 的书时, 尽管反复在笔记上抄写, 但仍然不明白力迫法, 所以干脆也就不了了之. 那时因为作者已接近退休, 又不是非学数学基础的理论不可, 倒也无可非议. 而对大学数学专业的学生, 笔者本人希望, 既然已经是数学专业的学生, 那么本着读书百遍, 其义自见, 对 ε-δ 论法也同样, 在笔记上抄写上百遍, 就一定能明白的.

如上那样一旦明白了的定理, 为了加深对其理解, 尝试想想别的证明是很有效的. 这是因为另外的证明是表示从另一角度去看定理所叙述的数学现象的机理.

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再有, 为了加深对定理的理解, 尝试将定理应用于各种各样的问题中也是很有效的. 如果已经可以自如地应用定理, 那么该定理应该算是完全理解了, 在定理的各种各样的应用中往往就忘掉了定理的证明, 但即使忘掉了证明, 对定理的理解并没有改变.

象这样虽然已经忘掉了证明但却完全理解的定理不胜枚举, 而对于这种定理, 现在所知道的只是, 我自己都曾经循着证明的论证一步一步做过. 与此相对, 则是知道曾经有其他人循着证明的论证一步一步做过、而又屡屡应用的定理, 即是那种不知道证明却很明白的定理. 知道证明但却忘掉了, 与完全不知道证明, 虽然看起来好象非常不一样, 但自己循着证明的论证一步一步做过所知道的, 与有人循着证明的论证一步一步做过所知道的, 也可以认为没有太大的差别. 如果这样的话, 那么不知道证明却完全明白的定理, 与证明虽已忘掉但完全理解的定理, 也并没有多大的差别因为有了这种信心, 所以才能应用这种定理.

最后, 所列举的数学的学习方法就是, 将不懂的证明在笔记上反复抄写下来看看、考虑另外的证明、试着将定理应用于各种问题, 这些都是非常平凡的事情. 所谓几何上没有捷径(欧几里得), 恐怕就是说数学上没有捷径.

最后想说的一点是, 笔者对早期教育是抱有疑问的, 与过去的教育相比, 现在的教育从很小就开始教各种东西(笔者的儿童时代上幼稚园的孩子都很少). 尽管如此, 听说即使在东大, 除天才学生外, 一般学生的学习能力与过去相比是在下降. 笔者虽然正好在中学生时开始阅读藤原松三郎的《代数学》, 但专业却是流形的解析理论, 早早开始学的代数没有起什么作用.

如上那样一旦明白了的定理, 为了加深对其理解, 尝试想想别的证明是很有效的. 这是因为另外的证明是表示从另一角度去看定理所叙述的数学现象的机理.
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