热烈祝贺坛主北大同班同学张益唐获得美国麦克阿瑟“天才”奖

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热烈祝贺坛主北大同窗7年同学张益唐在孪生素数研究方面取得重大突破
张益唐在本科毕业照最后一排照片最右面，我在第二排中间偏左不戴眼镜：
 
，
他在研究生毕业照第二排照片左面数第二个，我在第3排左4：
 




，


北京大学数学科学学院校友网院友名单本科生名单：
http://www.mathalumni.pku.edu.cn/index.php?id=140
北京大学数学科学学院校友网院友名单硕士研究生名单：
http://www.mathalumni.pku.edu.cn/index.php?id=141
张益唐：孤独的数学家
作者：汤涛
来源：中国科学报
张益唐的故事之所以特别轰动的原因在于，作出巨大数学贡献的他已经接近 60 岁，之前只
是个默默无闻的讲师。
2012 年 7 月 3 日，在一个阳光明媚的下午，张益唐在科罗拉多州好友齐雅格家后院抽烟，
20 多分钟里他有如神明启示般的想出了主要思路，找到了别人没有想到的特别突破口。
2013 年 4 月 17 日，一篇数论论文被投递到纯粹数学领域最著名的刊物《数学年刊》。不到
1 个月，论文所涉及领域的顶级专家罕有地暴露自己审稿人的身份，信心十足地向外界宣布：
这是一个有历史性突破的重要工作，文章漂亮极了。这位评审人就是当 今最顶级的解析数
论专家亨利伊万尼克。
顶级专家的高度评价被科学界的泰斗级期刊《自然》敏锐地捕捉到了；2013 年 5 月 13 日，
《自然》催生了一次历史性的哈佛演讲。这篇文章的作者、一个学术界的“隐形侠”，第一
次站在世界最高学府的讲台上，并告诉世人：我走进了世纪数学猜想的大 门！哈佛的讲台
下面座无虚席，连过道上都站满了人。演讲内容被即时传到网上，网上不少人在刷新网页等
待最新消息。
2013 年 5 月 14 日，《自然》在“突破性新闻”栏目里，宣布一个数学界的重大猜想被敲开
了大门。5 月 18 日，《数学年刊》创刊 130 年来最快接受论文的纪录诞生了。
世界震动了！5 月 20 日，《纽约时报》大篇幅报道了这个华人学者的工作。文中引用了刚
刚卸 任《数学年刊》主编职务的彼得萨纳克的讲话：“这一工作很深邃，结论非常深刻。”
5 月 22 日，老牌英国报纸《卫报》刊登文章，文章的标题是：鲜为人知的 教授在折磨了数
世纪数学精英的大问题上迈进了一大步。印度主流报纸把作出这一非凡贡献的人，与印度历
史上最伟大的天才数学家拉马努金相媲美。
这位作出重大数学突破的就是张益唐，由于对数学界最著名的猜想之一孪生素数猜想的破冰
性工作，使他从默默无闻的大学讲师跻身于世界重量级数学家的行列。
这是一个永久的疑问：为什么要研究数学猜想？短视地回答这个问题很困难。纯粹数学的研
究很 像体育比赛。刘翔跑得那么快有什么用？世界短跑纪录的刷新、跳高纪录的刷新到底
有什么用？但这并不妨碍每四年一次的奥运会。很多数学大猜想的突破很像顶尖 高手的棋
艺对决，是世界纪录的突破。
孪生素数猜想
变大海捞针为泳池捞针
远在中古时代，人类社会就产生了自然数的概念，人们也因此创立了一个古老而漂亮的数学
分支：数论。数论里面一个重要的概念就是素数，指的是那些只能被 1和其自身整除的数，
比如 5、7、11、19 等。
张益唐所做的工作和素数有关，尤其和所谓的孪生素数有关。孪生素数是指差为 2 的素数对，
即 p 和 p+2 同为素数。前几个孪生素数分别是（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，
19）等。100 以内有 8 个孪生素数对；501 到 600 间只 有两对。随着数的变大，可以观察到
的孪生素数越来越少。2011 年，人们发现目前为止最大的孪生素数共有 20 多万位数。但这
个数后面再多找一对孪生素数都 要花至少两年的时间。
那么会不会有一天再也找不到新的孪生素数对呢？数学家认为答案是否定的。几百年前就有
个孪生素数猜想：有无穷多个素数 p，使得 p 与 p+2 同为素数。但至今人们都不知如何证明
这个猜想。
张益唐在《数学年刊》上发表的这篇题为《素数间的有界距离》的文章，证明了存在无数多
个素数对（p, q），其中每一对中的素数之差，即 p 和 q 的距离，不超过七千万。
如何理解张益唐的结果呢？诺丁汉大学物理教师安东尼奥帕蒂拉举了个有趣的例子：假如
在素 数王国里素数只能找邻近的同类结婚，那 3、5、7、11 这种小素数找对象都很容易。
但是素数越大，对象就越难找。但是根据张益唐的发现，素数和下一个素数 的距离，应该
小于或等于七千万。孤独的数字不会持续孤独下去，总有另一个素数与之匹配。换言之，对
于“大龄光棍”素数来说，七千万步之内，必有芳草。
七千万听起来是个巨大的数字，但在数学上只是一个常数而已。虽然它和孪生素数猜想的距
离为 2 的结果还有十万八千里，但用张益唐的方法把七千万缩短到几百以内也是指日可待
的事情。实际上，在文章被公布于众后，短短的一个月以内，七千万就被菲尔茨 奖获得者
陶哲轩发起的网上讨论班缩小到六万多。
张益唐起到的作用就是把大海捞针的力气活缩短到在水塘里捞针，而他给出的方法还可以把
水塘捞针轻松变为游泳池里捞针。也许最后变成在碗里捞针还需要一些再创新的工作。但给
出了这一伟大框架已经是让全世界数学家瞠目结舌的壮举了。
非凡探索路
演绎一个数学神话
张益唐的故事之所以特别轰动的原因在于，作出巨大数学贡献的他已经接近 60 岁，之前只
是个 默默无闻的讲师。为了潜心研究数学，他几乎把自己与世隔绝，在美国的偏远省份“潜
伏”下来。他的妹妹曾在网上发寻人启事寻找哥哥。当时在美国当教授的老同 学给他妹妹
回了个电邮，表示他哥哥健康地活着，在钻研数学呢。
张益唐于 1955 年出生于北京。他 1978 年考进了北京大学数学系。北大 1977 年没有招生，
所以他是北大数学系“文革”后恢复高考的第一批学生。
1978 年第 1 期《人民文学》发表了作家徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》，讲述了数学家
陈 景润刻苦钻研在哥德巴赫猜想研究上取得重大突破的真实故事，一时间陈景润和哥德巴
赫猜想变得家喻户晓。像那个时代很多有志青年一样，张益唐也是被徐迟的文 章、被陈景
润的故事、被哥德巴赫猜想引导到数学系，以致终身投入到数学中去。
4 年的北大学习为张益唐打下了坚实的数学基础。那时的北大教书育人之风极强，最顶尖的
教师 都在讲台上耕耘。北大也有很多眼界很高的老师，学富五车，但不轻易落手写小文章，
可谈起大问题颇为津津乐道，这让年轻的张益唐“中毒”匪浅。这也奠定了他 一辈子只做
大问题、不为小问题折腰的风格。张益唐也是 1978 级公认的数学学习尖子。
张益唐 1982 年毕业后跟随著名数论专家潘承彪读了 3 年的硕士。潘承彪的哥哥就是大名鼎
鼎的山东大学前校长，因在哥德巴赫猜想方面的工作而闻名的潘承洞院士。潘氏兄弟也是北
大数学系校友，毕业后在各自的岗位上做出了非凡的精彩。
张益唐总是说在潘承彪的指导下他在北大打下了非常扎实的数论基础。
1985 年，张益唐来到了位于美国的名校普渡大学读博士，成为抗日名将孙立人和物理学家
邓稼先的校友。
但张益唐在普渡的六七年是不堪回首的时光。他在美国的导师是代数专家莫宗坚。张益唐的
研究 课题是导师的专长——雅可比猜想，但苦干了 7 年，得到的结果乏善可陈。眼界极高
的张益唐不屑把博士论文结果整理出来发表。更糟糕的是，他和导师的关系糟得 一塌糊涂。
这里有学术上的冲突，也有性格上的不和。
因为博士论文的结果没有发表，加上导师连一封推荐信都不愿意写，张益唐毕业后连个博士
后的工作都没有找到。
一面要继续做数学，一面还要糊口。毕业后的前六七年他干过很多杂活，包括临时会计、餐
馆帮手、送外卖。你能想象一代北大数学才子、数学博士数年间在快餐店、在唐人街餐馆打
工的情形吗？看到这里，你是否对“天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨”有更
深刻的理解呢？
1999 年后，张益唐又回到了学校，到美国的新罕布什尔大学做助教、讲师。新罕布什尔大
学 是成立于 1866 年的一所综合性公立大学。虽然教学量比较大，比起研究系列的教授、副
教授的工资性价比低很多，但能回到学校，做自己驾轻就熟的事情，还能 利用图书馆、办
公室作研究，对一个胸有大志的数学人来说，应该是非常满足的了。
在新罕布什尔大学的 14 年是张益唐研究的黄金期。不需要研究经费，凭自己坚实的数学功
底， 充满智慧的大脑，以及潜心钻研的精神，他终于演绎出数学史上的一个神话。2012 年
7 月 3 日，在一个阳光明媚的下午，张益唐在科罗拉多州好友齐雅格家后院 抽烟，20 多分
钟里他有如神明启示般的想出了主要思路，找到了别人没有想到的特别突破口。
校友情深
助千里马奔腾
张益唐的成功路上有众多的朋友帮助，特别是北大校友的帮助。
一位北大化学系的校友在上世纪 90 年代开了几家赛百味连锁店。他听北大校友说张益唐在
逆境 中还在作数学的大问题，很想资助张益唐，但又怕被拒绝。所以他就想了一个点子，
每个季度请张益唐来帮助给这些连锁店报税，让张益唐用简单数学来得到较为轻 松的报酬，
同时有较多时间去研究数学大问题。
张益唐一辈子的转折点是落脚新罕布什尔大学。促成这件事的有两个主要人物，他们是北大
数学系 1980 级的校友唐朴祁和葛力明。
毕业于湘潭一中的唐朴祁是 1980 年湖南省高考状元，是张益唐在北大时的系友、普渡大学
读 博士时的同学。1999 年初，已经在美国大计算机公司工作的唐朴祁去纽约参加学术年会
时，找到在纽约打工的张益唐，聊到自己在计算机网络研究中遇到的一个 数学难题。大约
3 周以后，张益唐居然想出了解决问题的基本思想，最后产生了两人的一个软件合作专利。
据说这个专利已经在计算机网络基础设施领域有广泛应 用。三个星期啃下一个有广泛实际
用途的计算机算法难题，让张益唐顿觉宝刀不老，信心大增。唐朴祁也对老友的数学实战功
夫印象深刻。
同年晚些时候唐朴祁与在新罕布什尔大学工作的葛力明见面，他提到张益唐的强大分析实力
和当 时的艰难处境。作为学长的张益唐不仅做过他们的习题课老师，也是上世纪 80 年代他
们自己组织的大学生讨论班上的常客。此时已是大学教授的葛力明似乎更有条 件帮一下他
们的朋友和老师。这次会面时，唐朴祁已经不知道张益唐的准确工作地点。经过一番周折，
葛力明在美国南方的一个赛百味快餐店联系上了张益唐，两三 天后，张益唐就来到新罕布
什尔大学了。每过几天，张益唐都会说，有进展，应该很快就出来了。他是指自己正在攻克
的一两个世界难题。但时间过得很快，两个 月、三个月，两年、三年……14 年后，张益唐
轰动性的工作终于横空出世了。
当然，在美国大学里要留一个没有多少学术资历的人 14 年肯定不是一件简单的事，中间也
有酸甜苦辣的故事。这里的主要帮手还是系里的明星教授葛力明。
葛力明过去的 10 年一半时间在中国科学院数学院工作，教书育人，深得国内同行的好评；
同时由于在研究领域的国际声誉，他也是新罕布什尔大学数学系的大教授。难能可贵的是，
作为学弟，在执迷于数学的学长最困难的时候，他真正做到了出手相助。
思考张益唐
释放学术研究正能量
张益唐成功很重要的一点是淡定，宠辱不惊。在朋友开的赛百味快餐店帮忙，他可以一丝不
苟。在大学任教，年近 60 还只是个讲师，在一般人看来无疑是失败，甚至是潦倒的，但他
处之泰然，不改其志。
难能可贵的是逆境之中他还是一如既往地作大问题。作大问题的人不需要太多，但不能没有！
张益唐的精神及成就，对中国科学界是极大的正能量，也是对目前浮躁的科研环境的一种鞭
策。
2013 年 5 月 20 日，耶鲁大学法学教授斯蒂芬卡特在《彭博》上撰文《可以是电影明星的
数学家》，他认为张益唐的励志故事是一个很好的电影题材。网上也有人建议文学家、编剧、
导演们可以把张益唐的故事搬上银幕，拍出比《美丽心灵》更美的电影。
张益唐做过学生会主席，具有演讲天才，喜欢文学、音乐，是 NBA 球赛的铁杆球迷，还可以
喝一斤二锅头没感觉。他应该是新时代数学家的好代言人。
成名后的张益唐仍像过去一样低调淡定。他说：“我的心很平静。我不大关心金钱和荣誉，
我喜欢静下来做自己想做的事情。”
张益唐自己想做的事情是什么呢？他还在瞄着迄今未解决的另一个大猜想。我们希望他能够
在平静中再创神话。

重生888@

蔡聽濤 发表于 2024-3-12 21:36
哥德巴赫猜想也許有簡單的證明，但不可能是直接方法可以證明的。初等的證明起碼得轉換，比如用到反證法之類 ...

你这位先生说的对——反证法！我对哥猜证明就是用的这个反证法：凡是30n+(2. 4. 6. 8. 10 .12. . 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28.)的偶数，（n=0. 1. 2. 3....）；若哥猜不成立，那末30(n+1)和30(n-1)哥猜一定成立，从而否定“哥猜不成立”！

蔡聽濤

哥德巴赫猜想也許有簡單的證明，但不可能是直接方法可以證明的。初等的證明起碼得轉換，比如用到反證法之類的。

qhdwwh

在解决各类难题时，有时侯最简单的方法才是最有效的。
王元院士说“数学之美在于简单”
按哥德巴赫猜想的定义，用WHS筛法完美证明（1）任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和；（2）任何一个大于5的奇数是3个素数之和。的哥德巴赫猜想成立。
由科学共同体提出任意的偶数，用WHS筛法给出证明实例，一次可以证明一个区间的偶数，如几个，几千，几十万......哥德巴赫猜想成立。
这样就完美体现了王元院士说“数学之美在于简单”是正确的。是完全可以做到的。

qhdwwh

哥德巴赫猜想是纯数学问题，具有数学确定性，用WHS筛法可以找到（1）任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和；（2）任何一个大于5的奇数是3个素数之和。的数学确定性，即偶数和奇数的哥德巴赫猜想成立。
因为奇数，偶数都是无穷的，因此奇数，偶数哥德巴赫猜想成立也是无穷的。这是真理的长河，只能接近，不能穷尽。无法否定。
WHS筛法可以找到真理长河中每个节点（确定的偶数或奇数）哥德巴赫猜想成立的数学确定性，但是长河无尽，所以无法穷尽，也无法否定。
∴哥德巴赫猜想成立。证毕。

ysr

我是数学爱好者，证明了哥德巴赫猜想，一直找不到正规的刊物和出版社发表，主要是经济实力不行和社会现状不重视科学和学术。
我已经把论文集结成书，自费出版了《数论探秘》，准备第三次出版了。
在这里做个微弱的宣传可以吗？

其实哥德巴赫猜想是个简单的命题，道理简单容易证明(我已经用多种方法证明)。是素数(又叫质数)的性质和分布规律的一个推论，也是素数的一条性质。（我已经证明哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都是远远成立的，这都是基础理论，虽然简单但是非常重要！）

如下是我遇到的决绝的退稿信：

1，你的文章达不到我栏目投稿的水平和要求 （智慧火花栏目）
2，凡是初等数学弄出来的都是有限个数据弄出来的结果，结论是不成立的（智慧火花栏目）
3，我们对此类文章不感兴趣（某刊数学编辑）
4，再没有推荐发过来我们只能当废纸处理（《数学学报》编辑）

看来，只有王元大师这样的谦虚认真做学问的院士，才愿意和我们沟通的，可惜大师仙逝了。

我觉得爱好者的哥德巴赫猜想的研究，起码有如下作用:

1，通过研究中发现的规律，可以用来快速得到需要的有密码特征的大素数。
从而改进密码技术使之更安全。

2，有助于用来快速分解大整数，破解公钥密码。这两条看似矛盾，其实是一致的，最终还是二者结合起来搞出个更安全更强的密码体系。

3，发表成果，为国争光，给国家做贡献，扩充一下科学资源宝库，碾压汉奸叛徒卖国贼。填补基础理论的漏洞和空白，弘扬科学精神，培植科学土壤，建立良好的学术氛围。

希望尚愿意弘扬科学精神的朋友沟通交流，谢谢！

jackL

我可不相信权威人士，只想说我去验证一下，但是怎么验证呢？又没有耐心有机会在说吧，这个孪生素数有意思

liugongqin

中国当代科学智慧库：朗道-西格尔零点猜想违背了刘功勤定理不成立

我首席科学家发明家高级研究员刘功勤研究发现：朗道-西格尔零点猜想是不成立的。因为，当时的朗道-西格尔还不懂得0是一个什么数？当时还没有确立0的定义。0是一个什么数？朗道-西格尔是不知道的。数学的数论中0的定义是我首席科学家发明家高级研究员刘功勤在二十一世纪初，证明成功了哥德巴赫猜想确立了刘功勤定理后，才确立了零的定义。0得定义是：0是一个表示数字原点的特殊数。0的区间为0。因此，朗道—西格尔所搞的“零点猜想”是一个莫名其妙的的胡思乱想是不成立的。因为，朗道-西格尔的零点猜想违背了刘功勤定理中0的定义。

数学是一门运用及其广泛的计算性的基础科学。数学的发展进步能够带动物理学，化学，工程科学，生命科学，计算机技术等多种学科的发展进步。数学使人周密。人们能够运用数学的方法使自己的工作和生活周密的有条不紊的进行。数学发展的今天，运用的范围越来越广范。数学从物理，化学，天文，生物，财会，经济等运算，发展到电子计算机技术，电子通信，人工智能和自动化控制等都必须运用数学的逻辑和计算。人们的生产和生活处处都有数学。证明哥德巴赫猜想成功之后，电子计算机通讯由原来的“大哥大”升至现在智能型的6G手机。

我首席科学家发明家高级研究员刘功勤确立了数学的定义——数学的定义是：数学是人们研究数字计算，数字逻辑和数字形成排列及其规律的理论和学说。数学具有数字性，逻辑性和运算性。数学属于人们思维数字计算科学的范畴。数学包括：代数计算和数论数学，微积分数学，三角函数几何等数学计算方法。

数论是数学发展理论基础。哥德巴赫猜想又是数学皇冠中的一颗明珠。早在1742年德国数学家哥德巴赫提出了这样一个猜想：任何一个大于或等于2的偶数都等于两个奇数之和。这就是数论中的哥德巴赫猜想。本人的证明如下：在直角坐标系中，以0点为原点，作角YOX 的平分线L。即L=Y=X1+X2=1+1=2。这样证明哥德巴赫猜想获得成功。并确立了刘功勤定理：

刘功勤定理1.0是一个表示数字原点的特殊数，0的区间为0；1是一个基本数，素数和奇数。
刘功勤定理2.数是由0为特殊数，以1为基本数而形成的。
刘功勤定理3.任何一个不等于0的数区间在（0,1]。

证明哥德巴赫猜想的成功和刘功勤定理的确立。为数学，物理学和电子计算机技术的发展奠定了坚实的基础，开辟了广阔的前景。数学使人周密。周：周到，周全。密：精密，准确。人们运用数学研究优秀成果——证明哥德巴赫猜想的成功，确立刘功勤定理。0是一个表示数字原点的特殊数。0的区间为0；1是一个基本数，素数和奇数。就能得到准确周密的数值。请看如下数学计算的数值：

1.人类进入公元21世纪的准确实践是：2000年12月31日24:00时即2001年1月1日00:00时。

2.公制长度单位1米为地球的北极点0点到地球赤道距离的1/1000万。

3.地球到太空的距离为地球的北极点0点垂直向上100千米。

4.测量地球海拔高度的原点为海平面的平均点0点。

5.使用各种仪器和仪表前都要把指针校对到0点，才能得到准确的数据。

6.2021年中国珠穆朗玛峰重新测高，把中国青岛海域的海平面的平均值确立为0点进行测量。

人们在计算任何数字时都必须从0开始，从而得到准确的数字。因为，数字是以0为表示原点的特殊数，以1为基本数而形成的。

在数学上任何一种猜想都有一个设定的数字区间和范围，如：哥德巴赫猜想1742年德国数学家哥德巴赫猜想提出的这样一个猜想任何一个大于或等于2的偶数都等于两个奇数之和即1+1=2的数学证明题。证明成功哥德巴赫猜想即L=Y=X1+X2=1+1=2的坐标为（2, 2）。然而，朗道-西格尔零点猜想却没有设定的数字区间和范围。因此，朗道-西格尔的零点猜想违背了刘功勤定理不能成为数学猜想。是不成立的。朗道-西格尔零点猜想把人们带入了一个数学的误区。是不会有正确的结论。数学的逻辑和规律是不能违背的。

这正是：中国科学家确立了数学的定义并确立了0的定义。朗道-西格尔零点猜想违背了刘功勤定理不成立。

——本文摘自《中国当代科学智慧库》
作者：中国改革与发展研究院高级研究员 首席科学家、发明家 刘功勤
地址：江苏连云港中山中路147号中国当代科学智慧库
邮政编码：222042 电话：0518-８2310217 手机：18000175090

数学天皇

连续合数任意多，岂止7千万？

liugongqin

独舟星海 发表于 2023-5-15 22:18
2022年11月3日周四农历十月初十下午15:00分整
今天对孪生素数对的间距做一分析，素数对的间距是分析孪中减 ...

回答错误0分。把简单的搞复杂了是浪费。

独舟星海

2022年11月3日周四农历十月初十下午15:00分整
今天对孪生素数对的间距做一分析，素数对的间距是分析孪中减法，如果是加法，则是
孪中和的分布，而不是间距分布情况。分析时，一定把孪生素数对看成一个整体，即
孪中为0时，素数式-1,1相对于素数模的减法合成。
先从合成方法上做个整体分析，合成元素个数（P-2），无论加法，或减法，都是二维数据
即（P-2)*（P-2)=P^2-4P+4=P(P-4)+4,4是常量，它无法均分，即不能满足P份整份，所以，
这4种合成方法，有内部元素合成决定，内部元素是-1,1，它们的二元运算获得，整除P分
到两种合成方法；而与±2模P同合成值模P同余的各分到一种合成方法，常数4是这样分配
的，其余P*(P-4）合成方法是均分的，每个剩余类各分得（P-4）种方法，对于N模P为0的
合成值，因为它还分得两种合成方法，所以，整除P的合成值有（P-2）种合成方法，
合成值模P与±2模P同余的剩余类，它们各另外分得一种合成方法，所以这两种剩余类，
各有（P-3)种合成方法。
0.307494878843522
4.1511808643875500
6*∏P(P-4)/(P-2)^2=6*0.3968803638672010=2.3812821832032100
0.3968803638672010
2.3812821832032100

孪生素数对        0        2
中项置零        -1        1

内部合成        -1        1
-1        0        -2
1        2        0

相对余数        统计2
-2        1
0        2
2        1
合计        4

素数        2        3        5        7        11        13
-1        1        2        4        6        10        12
1        1        1        1        1        1        1
未占剩余类        0        0        0        0        0        0
占位占位        占        位        2        2        2        2
占位占位        占        位        3        3        3        3
占位占位        占        位        占        4        4        4
占位占位        占        位        占        5        5        5
占位占位        占        位        占        位        6        6
占位占位        占        位        占        位        7        7
占位占位        占        位        占        位        8        8
占位占位        占        位        占        位        9        9
占位占位        占        位        占        位        占        10
占位占位        占        位        占        位        占        11

外部合成                       
素数2        0               
0        0               
只有整除2的                       

素数3        0               
0        0               
只有整除3的                       
2,3的作用结果                       
只能整除6的间距                       

素数5        0        2        3
0        0        3        2
2        2        0        4
3        3        1        0
可以是模5的任何剩余类


5的剩余类        统计2
0        3
1        1
2        2
3        2
4        1
合计        9

素数7        0        2        3        4        5
0        0        5        4        3        2
2        2        0        6        5        4
3        3        1        0        6        5
4        4        2        1        0        6
5        5        3        2        1        0
可以是模7的任何剩余类

7的剩余类        统计2
0        5
1        3
2        4
3        3
4        3
5        4
6        3
合计        25

素数11        0        2        3        4        5        6        7        8        9
0        0        9        8        7        6        5        4        3        2
2        2        0        10        9        8        7        6        5        4
3        3        1        0        10        9        8        7        6        5
4        4        2        1        0        10        9        8        7        6
5        5        3        2        1        0        10        9        8        7
6        6        4        3        2        1        0        10        9        8
7        7        5        4        3        2        1        0        10        9
8        8        6        5        4        3        2        1        0        10
9        9        7        6        5        4        3        2        1        0

可以是模11的任何剩余类

11的剩余类        统计2
0        9
1        7
2        8
3        7
4        7
5        7
6        7
7        7
8        7
9        8
10        7
合计        81

素数13        0        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11
0        0        11        10        9        8        7        6        5        4        3        2
2        2        0        12        11        10        9        8        7        6        5        4
3        3        1        0        12        11        10        9        8        7        6        5
4        4        2        1        0        12        11        10        9        8        7        6
5        5        3        2        1        0        12        11        10        9        8        7
6        6        4        3        2        1        0        12        11        10        9        8
7        7        5        4        3        2        1        0        12        11        10        9
8        8        6        5        4        3        2        1        0        12        11        10
9        9        7        6        5        4        3        2        1        0        12        11
10        10        8        7        6        5        4        3        2        1        0        12
11        11        9        8        7        6        5        4        3        2        1        0
可以是模13的任何剩余类
13的剩余类        统计2
0        11
1        9
2        10
3        9
4        9
5        9
6        9
7        9
8        9
9        9
10        9
11        10
12        9
合计        121