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在不大于 10000 的自然数中,共有几个数,至多由两个不同的数字所组成?

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发表于 2018-5-17 17:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是网友 a0952775081 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:

不大於10000之自然數中,共有____個其至多由兩個不同的數字所組成.

 楼主| 发表于 2018-5-17 21:35 | 显示全部楼层
  在不大于 10000 的自然数中,共有几个数,至多由两个不同的数字所组成?

  分几种情况讨论:

(一)由一种数字组成的一位数,即 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ,共 9 个。

(二)由一种数字组成的二位数,即 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个。

(三)由两种数字组成的二位数,十位数可以是 1,2,…,9 ,有 9 种选择,个位数

可以是 0,1,2,…,9 ,但不能与十位数相同,有 9 种选择。所以这样的二位数共有

9×9=81 个。

(四)由一种数字组成的三位数,即 111,222,333,444,…,999,共 9 个。

(五)由两种数字组成的三位数,百位数可以是 1,2,…,9 ,有 9 种选择,另一种数

字可以是 0,1,2,…,9 ,但不能与百位数相同,有 9 种选择。十位数可以与百位数相

同或不同,有 2 种选择,个位数可以与百位数相同或不同,也有 2 种选择,但是十位

数、个位数不能全部都与百位数相同,还要减去这 1 种情形。所以这样的三位数共有

9×9×(2×2-1)=243 个。

(六)由一种数字组成的四位数,即 1111,2222,3333,4444,…,9999,共 9 个。

(七)由两种数字组成的四位数,千位数可以是 1,2,…,9 ,有 9 种选择,另一种数

字可以是 0,1,2,…,9 ,但不能与千位数相同,有 9 种选择。百位数可以与千位数相

同或不同,有 2 种选择,十位数可以与千位数相同或不同,也有 2 种选择,个位数可

以与千位数相同或不同,也有 2 种选择,但是百位数、十位数、个位数不能全部都与千

位数相同,还要减去这 1 种情形,所以这样的四位数共有 9×9×(2×2×2-1)=567 个。

(八)五位数,只有 1 个,即 10000 。

    综合以上分析,可知符合题目要求的自然数共有 9+9+81+9+243+9+567+1=928 个。
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