在投入理解曲面曲率的探索之前,从描述平面曲线这一更简单情形开始也许是有启发性的。为了刻画曲线 C 在其上一点 M 的邻域内的样态,我们从画切线开始,如果存在切线,那么它就是在 M 附近最接近曲线 C 的直线。这个一阶近似提供了这条曲线的有限信息,如果我们找到那个在 M 附近最贴近 C 的唯一的圆,那就能得到更精细的近似。这个圆,汉语中称为“密切圆”,法语称为“osculateur”,来自于拉丁语的osculatio,意为亲吻。密切圆显示了曲线的弯曲方式。如果这个圆很大,那么这个圆在 M 附近的部分看上去就很平,从而所研究的曲线 C 在 M 的附近也就很平;反之,一个很小的半径就意味着哪怕在很小的尺度上也有一段肉眼可见的很弯的弧。在这个直观意义下,曲率与密切圆的半径成反比。于是,为了更定量化的看问题,我们引入密切圆半径的倒数:平面曲线 C 在点 M 处的曲率就等于这个量,至多相差一个符号(这个符号表明我们弯向一侧还是另一侧)。如果所研究的平面曲线本身就是圆,那么其上每个点的曲率都等于圆的半径的倒数;直线的曲率处处为零;绝大多数曲线的曲率随着其上点的移动而变化。
回到三维空间中的曲面 S 。如上段中的曲线情形一样,我们要在其上一点的邻域内研究曲面 S 。这次的一阶近似,如果存在的话,是过 M 的一个平面,称为切平面。经过 M 点且垂直于这个平面的直线,自然就称为曲面 S 在点 M 处的法线。为了更好地理解曲面 S 在 M 的邻域内的“扭曲”方式,我们从研究曲面上过点 M 的曲线开始;更精确地说,我们用包含法线的平面去截曲面 S ,对于每一条如此得到的曲线,都重复一次之前做过的平面曲线研究。如此这般,对于这个平面束中的每个平面,S 与这个平面的交线在点 M 处都有一个曲率的数值与之对应。乍看上去这族数有点不好处理,因此我们情愿限制在两个最值上:这族数中的最小值与最大值称为曲面 S 在点 M 处的主曲率。与曲线的情况一样,还是有更精确的方式来引入这些值,但方法远非初等;我们引用一条严格的定义来感受一下难度:曲面 S 在点 M 处的主曲率是与 S 在 M 处的第二基本(二次)形式对应的对称自同态的特征值。读到了这句话,您一定理解,更明智的做法是先从大学教材的汪洋大海中取一册来参阅,读懂这里引用的所有数学概念的定义,然后再来读这些观念的严格阐述。不过在您去找这么一本手册之前,让我们回到图书馆中的例子,继续我们对曲率的初等召唤(译注:作者此处用了évocation一词,似乎在召唤神龙)。
在通常球面的例子里,在球面上一点 M 处所考虑平面与球面的交线全部是过 M 的大圆,每个大圆在 M 处的曲率总是一样的,等于大圆半径的倒数,也就是球面半径的倒数。两个主曲率也就相等,是个严格为正的常数。仍然由于球面伟大的对称性,可见主曲率的取值处处相等,与在球面上考虑哪一点 M 无关。如果把球面形变一点点,拉长成一个椭球面,那么两个主曲率仍然处处为正,但是取值会随所考虑的点与椭球顶点的接近程度而改变。
图3:左侧椭球面,右侧双曲抛物面
对于诨名“马鞍”的双曲抛物面来说,可以看到迥然不同的现象:两个主曲率随着点的移动而改变,但总是取相反的符号(一个取正号,另一个取负号)。让我们在马鞍的“中心”稍息。为了简单起见,把马鞍安放在马背上(这匹马帮助我们在空间中定位)。所考虑的点 M 就是当我们想坐稳马鞍时要对准的那一点;如果马站在平地上,那么点 M 处的法线是铅直的。包含马的轴线的铅直平面将马鞍截出一条向上翘的曲线;与这个铅直平面正交的另一个铅直平面(经过马镫的那个)给出一条向下弯的截交线:在这种情况下,两个主曲率取不同的符号,因为有两个方向上的曲率是相反的。