老封几何

shuxueren

调和四边形
1、【定义】对边乘积相等的圆内接四边形叫做调和四边形。
2、【性质】
（1）调和四边形的其中一条对角线，与过其余两点的四边形外接圆的两条切线，这三条直线共点；
（2）设调和四边形ABCD中，对角线AC中点为M，则△AMB∽△DMA∽△DCB，△BMC∽△CMD∽△BAD；
（3）设调和四边形ABCD中，对角线AC与过B、D两点的四边形ABCD外接圆的切线所共的点记为P，记AP交BD于Q，则AQ为△ABD的一条陪位中线，A、Q、C、P四点为调和点列；取对角线AC中点M，设四边形ABCD外接圆圆心为O，则B、P、D、O、M五点共圆；
（4）调和四边形外接圆上任意一点S到A、B、C、D四点长度满足调和线束关系；
3、【判定】
（1）利用定义：对边乘积相等的圆内接四边形是调和四边形；
（2）过圆外一点作圆的两条切线与一条割线，与圆相交的四点构成的凸四边形为调和四边形。

shuxueren

creasson

Mathematica计算的。这里给一个稍简单点的题目的计算：

creasson

再多说一下，关于平面几何的计算，目前大致有这么一些方法：
1. 直角坐标系
2. 复数
3. 三角函数
4. 向量
5. 重心坐标
6. 三线坐标
7. 经典结论+纯几何方法
8. 仿射
9. 极坐标
10. 参数法
11. 反演及其他
这些方法有些是类似的，有些看起来又差别很大，但其实都是相通的，以后我将出书来说明这一点。

再说下史勇的方法，看起来是复数，但核心其实不是的，他习惯于用奇怪的表述，使得整套东西看起来云山雾罩，cyb酱和黑熊不黑做了一定的解读，但很浅。这套方法确实可以证明很多几何题目，但有些地方其实也不对，或是计算复杂了，而且依赖于构造的地方非常多，这方面是个缺陷，也使得他没法系统地说明这题为什么这么设点，那题为什么又那么设点，所以他的证明很多都是直接在一张图上给出结果。
以上这段文字，估计史勇本人是厌恶的，所以我做一个声明：个人见解，如有冒犯，请忽略。也请各位不要把这段话给史勇看。

再说下机器证明，张景中院士，李涛等人做了一些证明系统，有直角坐标的，重心坐标的，复数的，这些都还不是很有效，最主要的问题在于当几何量涉及根式运算时的处理，虽然部分命题通过构造解决了。
史勇的做法比这个更进一步，，这使得其能够处理圆锥曲线的问题。

平面几何的核心在于系统地将几何量进行有理化，以上提到的所有，都没有很好地解决这一点。

可以说，平面几何属于亏格0的几何。可能有人觉得我说得不对，因为也有三次曲线的命题存在，但这些命题还停留在非常浅的地步。

creasson

康威椭圆的半轴长表达式非常复杂

creasson

有一处写错误，最后得到的是关于半轴长L的方程。 *.cdf文件用Mathematica打开运行即可。

creasson

15#, 结论太复杂了，事实上，有
\[\frac{{A{B^2} + B{C^2} + C{A^2}}}{{8{S_{ABC}}}} = \frac{{R - r}}{{R + r}}\]

记\({R_1},{R_2},{R_3}\)为三绿圆半径,那么

\[\begin{array}{l}
A{B^2} + B{C^2} + C{A^2} = \frac{{8{R_1}{R_2}{R_3}({R_1}{R_2} + {R_2}{R_3} + {R_3}{R_1})}}{{({R_1} + {R_2})({R_2} + {R_3})({R_3} + {R_1})}} \\
{S_{\Delta ABC}} = \frac{{2{R_1}{R_2}{R_3}\sqrt {{R_1}{R_2}{R_3}\left( {{R_1} + {R_2} + {R_3}} \right)} }}{{({R_1} + {R_2})({R_2} + {R_3})({R_3} + {R_1})}} \\
O{I^2} = \frac{{16\left( {\frac{1}{{{R_1}^2}} + \frac{1}{{{R_2}^2}} + \frac{1}{{{R_3}^2}} - \frac{1}{{{R_1}{R_2}}} - \frac{1}{{{R_2}{R_3}}} - \frac{1}{{{R_3}{R_1}}}} \right)}}{{{{\left( {\frac{1}{{{R_1}^2}} + \frac{1}{{{R_2}^2}} + \frac{1}{{{R_3}^2}} - \frac{2}{{{R_1}{R_2}}} - \frac{2}{{{R_2}{R_3}}} - \frac{2}{{{R_3}{R_1}}}} \right)}^2}}} \\
\end{array}\]
\(R,r\)可由笛卡尔定理得。

陈九章

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