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請教一題與循環小數有關的問題

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发表于 2018-5-15 22:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
這題分母為61,光是1/61的循環節就有60個,真的只能用除法把這60個數找出來再觀察嗎?還是有什麼其他方法能做呢?請教大家,謝謝。
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发表于 2018-5-18 08:56 | 显示全部楼层
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发表于 2018-5-17 06:42 | 显示全部楼层
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点评

(x,a36) = (40,2) 2 应该是前面那个 2 。  发表于 2018-5-17 08:56
发表于 2018-5-17 07:38 | 显示全部楼层
这个问题很有趣。各位数论爱好者也许有巧妙的解。希望分享。
发表于 2018-5-17 08:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-5-17 17:22 编辑

根据循环小数的性质
d(65) = 3        推得   d(5) = 3   (第65位上的数字与第5位上的数字相同)
d(36) = 9 - A   推得   d(6) = A   (第36位上的数字与第6位上的数字相加等于9)
d(37) = 2        推得   d(7) = 7   (第37位上的数字与第7位上的数字相加等于9)
即求: X /61 = 0. d(1) d(2) d(3) d(4) 3 A 7........
易知:04/61 = 0.  0      6      5     5  7 3 7 7........
可得:40/61 = 0.  6      5      5     7  3 7 7........
   即:    X = 40      d(36) = 9 - A = 9 - 7 = 2
发表于 2018-5-17 20:40 | 显示全部楼层
给定p是质数,

若 1/p 的小数展式具有最大的循环节长度,

则   p   mod   40  ≡  7, 33, 11, 29, 17, 23, 19, 21 的其中一个。

在 7, 33, 11, 29, 17, 23, 19, 21 这几个数中,本原解

1/7, 1/29, 1/17, 1/23, 1/19 就具有最大的循环节长度!!!


是否因为:7+33=40,11+29=40,17+23=40,19+21=40.
发表于 2018-5-17 21:51 | 显示全部楼层
楼上 pgcci7339 的帖子和 elim王守恩 的解答都很好!

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

 楼主| 发表于 2018-5-17 22:00 | 显示全部楼层
這題有兩個答案,(40,2)和(56,7)
发表于 2018-5-18 07:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-5-18 07:02 编辑
pgcci7339 发表于 2018-5-17 22:00
這題有兩個答案,(40,2)和(56,7)


嗨!此题还有2个答案!补上!
根据循环小数的性质
d(65) = 3        推得   d(5) = 3   (第65位上的数字与第5位上的数字相同)
d(36) = 9 - A   推得   d(6) = A   (第36位上的数字与第6位上的数字相加等于9)
d(37) = 2        推得   d(7) = 7   (第37位上的数字与第7位上的数字相加等于9)
即求: X /61 = 0. d(1) d(2) d(3) d(4) 3 A 7........
易知:04/61 = 0.  0      6      5     5    7 3 7 7........
可得:40/61 = 0.  6      5      5     7    3 7 7........
   即:    X = 40      d(36) = 9 - A = 9 - 7 = 2
根据循环小数的性质
d(65) = 3        推得   d(5) = 3   (第65位上的数字与第5位上的数字相同)
d(36) = 9 - A   推得   d(6) = A   (第36位上的数字与第6位上的数字相加等于9)
d(37) = 2        推得   d(7) = 7   (第37位上的数字与第7位上的数字相加等于9)
即求:  X  /61 = 0. d(1) d(2) d(3) d(4) 3 A 7........
易知:003/61 = 0.  0      4      9     1    8 0 3 2 7........
可知:300/61 = 4.  9      1      8     0    3 2 7........
可得:056/61 = 0.  9      1      8     0    3 2 7........
   即:    X = 56      d(36) = 9 - A = 9 - 2 = 7
发表于 2018-5-18 18:22 | 显示全部楼层
谢谢楼上 elim王守恩 的继续补充解答。

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