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吴帆博士译作:直线与曲面

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发表于 2020-5-13 21:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
吴帆博士译作:直线与曲面

这篇译作是吴帆老师翻译的一篇文章,译自亨利庞加莱研究所编著的《Objets mathematiques》一书中的一个篇目。该文生动形象地展示了直线与曲面之间的关系,同时也将一些有关曲面历史性的内容加入进去,值得大家阅读赏析!
         
由于日常生活中俯拾皆是,曲面的概念对我们来说是熟悉的。放眼四周,桌面、弹珠、罐头盒子,这些都是我们会即刻与“曲面”这一名称联系起来的事物。然而从数学观点看来,这些只不过是名为“曲面”的理想对象的近似物。想象桌面的厚度为零并且朝所有方向无限延展,这就得到了一个平面;掏空弹珠,只留下它与空气接触的外表面,并且假定这个表面完全光滑,这就得到了一个球面;对罐头盒子施以同样操作,并且去掉盖子和底面,这就得到了一个圆柱面。

吴帆博士译作:直线与曲面-1.jpg
图1:从左到右依次是圆锥面模型、(放在立方体上的)球面模型与圆柱面模型。这些曲面都放在一个平面上。
         
研究这些曲面有个非常实用的方法,就是使用空间坐标。原理是:选定一个点(称为原点),取定由此点出发的三根轴,然后就可以如下图2所示,给空间中每个点 M 配以唯一的一组坐标 (x,y,z)。

吴帆博士译作:直线与曲面-2.jpg
图2:具有坐标(x,y,z)的点 M。字母 x ,y 与 z 分别表示从原点 O 到每个用黑色圆圈标记的点之间的距离。   

装备上这样的坐标之后,空间中的曲面就可以用方程来描写。例如,可以证明平面可以由只包含坐标之和或差(可能乘以倍数)的方程来定义,就是像 x+2y-z=0 这样的方程;这就是说组成这个平面的点的坐标 (x,y,z) 都满足等式 z+2y-z=0 。如此,由于 1+2×2-5=0 ,所以坐标为 (1,2,5) 的点在这个平面上;由于 1+2×1-1≠0 ,所以坐标为 (1,1,1) 的点不在这个平面上。类似地,我们可以证明以原点为球心以 1 为半径的球面可以用方程 x^2+y^2+z^2=1 来表示。

从在身边观察到的相对简单的曲面出发,我们给出了这些曲面的方程。不过也可以提出反向的问题,就是预先任选一个方程,然后尝试研究由其定义的曲面的性质:它长得像什么?是光滑还是有尖点?是否有洞?是不是有界限?

在二次曲面的情形,数学家们回答这些问题已有几个世纪之久。二次曲面的定义方程,一方面要求 x,y,z 之间只能使用加、减、乘、乘方这些运算(也就是说禁止考虑例如对数或余弦这类运算),另一方面要求每一项的次数不得超过 2 。因此方程

                                            x^2+y^2+z^2=1 ;

                                             z^2=x^2+y^2 ;

                                            x^2+y^2-z^2=1 .
   
定义了三张二次曲面。如前所见,第一个方程是球面的方程。第二个与第三个分别是圆锥面与单叶双曲面的方程——最后这张曲面长得就像,比方说,核电站的冷却塔。  

吴帆博士译作:直线与曲面-3.jpg
图3:单叶双曲面模型  

如图3与图4所示,圆锥面、圆柱面与单叶双曲面有个共同的性质:每张曲面都可以分解为一族直线。换言之,这些曲面是无数条排列巧妙的直线的集合。由于这条性质,这类曲面被称为“直纹面”。   

吴帆博士译作:直线与曲面-4.jpg
图4:圆锥面与圆柱面都是直纹面:前者由过顶点的一族直线构成,后者由与一个圆垂直相交的一族直线构成。

相反,回过头来考虑球面,就会发现一切都让人感到它不可能是直纹面:甚至都看不出来一条直线如何能够嵌入球面!事实上,有一种数学观点可以确保球面是直纹面。这个观点的(其中一条)要求是允许不仅考虑坐标为实数的点,而且也要考虑坐标为复数的点。于是方程 z^2+y^2+z^2-1=0 所表示的球面,不仅包含实数坐标为 (1,0,0) 的点,也包含复数坐标为 (i,1,1) 的点,其中 i 就是著名的虚数,满足 i^2=-1 。一旦采纳这种观点,我们就可以证明球面是直纹面,进一步有所有二次曲面都是直纹面!如是,采用复坐标可以使我们得到更一般的结果,但要付出一点代价:具有复坐标的点不再能够如我们习惯的那样画出来了。我们通常采用的球面图示就变得不完整了(因为它只能展现实坐标的点),球面上包含的直线就更不可能表现出来了……   

现在来谈谈三次曲面,也即这些曲面定义方程中项的次数不超过3,例如

                 x^3-y^2z+2z^2+3x+4=0 .

历史上对这类曲面的研究比较晚近,19世纪中叶才开始。与之相对,二次曲面从古希腊时代以来就是研究对象:特别是,阿基米德(公元前3世纪)就已经明了如何计算球、圆柱与圆锥的表面积与体积。   

对三次曲面的早期研究有着重大贡献的数学家之一是 Arthur Cayley (1821-1895)。他研究了一类直纹三次曲面,图5展示了这种曲面的一个模型。  

吴帆博士译作:直线与曲面-5.jpg
图5:一个直纹三次曲面的线材模型
         
与二次曲面不同,三次曲面不全是直纹的(哪怕使用了复坐标)。事实上,除了例外情形,三次曲面只包含有限多条直线。还有更好的结论:(几乎所有)三次曲面都包含同样数目的直线,即 27 条。然而应该留意这一事实:仅当使用复坐标时这一结论才是对的。也就是说,有时这 27 条直线中有若干条不能在模型上具体表现出来(见图6)。(几乎所有)三次曲面上存在 27 条直线的定理是1849年在Cayley与同事George Salmon的书信往来中证明的(注1)。  

注1:另一方面,如果曲面的定义方程中有一项的次数大于等于4,那么这个曲面上一般不会包含任何直线。  

吴帆博士译作:直线与曲面-6.jpg
图6:左边的曲面模型上标出了27条直线,而右边的曲面模型上仅能标出7条,另外20条是由复坐标的点组成的。

例外情形一方面是直纹三次曲面(包含无穷多条直线),另一方面是带奇点的三次曲面,这些曲面有尖点或者挤压的形状(如图7中两个模型上的特殊部位)。这后一类三次曲面仍然包含有限多条直线,只是少于 27 条。   

吴帆博士译作:直线与曲面-7.jpg
图7:两个带奇点的三次曲面模型。底下这个是Cayley曲面。

27 条直线的定理受到了19世纪一些数学家的热烈欢迎。例如James Joseph Sylvester在1869年写道:

★ 阿基米德将圆柱、圆锥与球面刻在他的墓碑上,我们出色的同胞也能以同样正当的理由立下遗嘱,将带27根直线的三次曲面(译注:Sylvester此处特地造了一个词cubic eikosiheptagram)刻在他们的墓碑上。宇宙之灵!我们将去往何处?所有这一切将在何时何处如何结束?”
  
但三次曲面的早期研究,包括 27 条直线的存在性的证明,仍然十分抽象,于是接下来就提出了关于曲面形状及其上 27 条直线的配列方式的问题。Sylvester已于1861年通过有机的比喻表达了建造这一构型的铁丝模型的意愿:

想用铁丝或者黄铜丝搭建这 27 条直线的系统 [...],这样我们就可以用肉眼看到[三次]曲面上的所有直线(可以说是骨骼),体验到出乎意料的乐趣。
   
看来Sylvester本人之后未能实现这样的模型,但其他数学家(包括Cayley)对这个问题发生了兴趣并开展了研究,旨在为具体构造提供充分的数值信息:这些数值一方面要足够精确,使得制成的形状能够忠实于现实,另一方面又要确保全部 27 条直线可以在合理的空间范围内都表示出来。   

在本文结束之际,我们还要提到德国数学家Alfred Clebsch (1833 - 1872)的名字,他对几何学,尤其在三次曲面这一主题上做出了重大贡献。对于Clebsch而言,几何直观在数学中起着本质作用,因此模型对于深入理解曲面来说是极其重要的。Clebsch也常常寻求将几何观点引入那些看上去远离几何的数学领域。于是在与代数方程论(旨在理解一元方程的性质的代数分支) 相关的研究中他发现了一类比较特别的三次曲面,他称之为“对角曲面”。在他身后这类曲面被重新命名为“Clebsch曲面”或者“Clebsch对角曲面”。   

吴帆博士译作:直线与曲面-9.jpg
图8:Clebsch对角曲面的不同模型      

1872年Clebsch制成了一个带 27 条直线的对角曲面的石膏模型,在哥廷根科学院的一次集会上他披露并描述了这一模型。这个模型尔后成了众多三次曲面模型的标志。例如,那个时代伟大的德国数学家、Clebsch的学生Felix Klein (1849-1925)把这个模型带到1893年芝加哥万国博览会上展出。如今人们可以在世界各地的多处藏品中找到Clebsch对角曲面模型。特别是在亨利庞加莱研究所的收藏中有一系列45个三次曲面的模型,相应于三次曲面45种可能的形状。   

【注】本文译自亨利庞加莱研究所编著的Objets mathematiques一书中的篇目Des droites et des surfaces,作者是数学史家 Francois Le。

吴帆博士译作:直线与曲面-10.jpg
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